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高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 课时作业13 2.2.2.2 椭圆简单几何性质的应用(含解析)新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

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课时作业13椭圆简单几何性质的应用时间:45分钟——基础巩固类——一、选择题1.若直线kx-y+3=0与椭圆+=1有两个公共点,则实数k的取值范围是(C)A.-或k<-D.k<且k≠-解析:由可得(4k2+1)x2+24kx+20=0,当Δ=16(16k2-5)>0,即k>或k<-时,直线与椭圆有两个公共点.2.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(B)A.B.C.D.解析:方法一(通性通法):不妨设直线l过椭圆的上顶点(0,b)和左焦点(-c,0),b>0,c>0,则直线l的方程为bx-cy+bc=0,由已知得=×2b,解得b2=3c2,又b2=a2-c2,所以=,即e2=,所以e=或e=-(舍去).方法二:不妨设直线l过椭圆的上顶点(0,b)和左焦点(-c,0),b>0,c>0,则直线l的方程为bx-cy+bc=0,由已知得=×2b,所以=×2b,所以e==.3.过椭圆+=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为(B)A.8,6B.4,3C.2,D.4,2解析:过椭圆焦点的最长弦为长轴,其长度为2a=4;最短弦为垂直于长轴的弦,因为c=1,将x=1代入+=1,得y=±,所以最短弦的长为2×=3.4.若AB为过椭圆+=1中心的线段,F1为椭圆的焦点,则△F1AB面积的最大值为(B)A.6B.12C.24D.48解析:如图,S△ABF1=S△AOF1+S△BOF1=2S△AOF1.又 OF1=c=3为定值,∴点A与(0,4)重合时,OF1边上的高最大,此时S△AOF1的面积最大为×4×3=6.∴S△ABF1的最大值为12.5.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离是(D)A.3B.1C.2D.解析:设与直线x+2y-=0平行的直线为x+2y+m=0与椭圆联立得,(-2y-m)2+4y2-16=0,即4y2+4my+4y2-16+m2=0,得2y2+my-4+=0.Δ=m2-8(-4)=0,即-m2+32=0,∴m=±4.∴两直线间距离最大是当m=4时,dmax==.6.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(D)A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析:因为直线AB过点F(3,0)和点(1,-1),所以直线AB的方程为y=(x-3),代入椭圆方程+=1消去y,得(+b2)x2-a2x+a2-a2b2=0,所以AB的中点的横坐标为=1,即a2=2b2,又a2=b2+c2,所以b=c=3,a2=18,故选D.7.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为(C)A.B.C.2D.4解析:设椭圆方程为+=1(a>b>0),由得(a2+3b2)y2+8b2y+16b2-a2b2=0,由Δ=0及c=2,可得a2=7,∴2a=2.8.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,直线l:x=2,点A∈l,线段AF交椭圆C于点B,若FA=3FB,则|AF|=(A)A.B.2C.D.3解析:设点A(2,n),B(x0,y0).由椭圆C:+y2=1知a2=2,b2=1,∴c2=1,即c=1.∴右焦点F(1,0).由FA=3FB得(1,n)=3(x0-1,y0).∴1=3(x0-1)且n=3y0.∴x0=,y0=n.将x0,y0代入+y2=1,得×2+2=1.解得n2=1,∴|AF|===.二、填空题9.椭圆x2+4y2=16被直线y=x+1截得的弦长为.解析:由消去y并化简得x2+2x-6=0.设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=-6.∴弦长|MN|=|x1-x2|===.10.过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.解析:由a2=5,b2=4,得c2=1,因此右焦点F的坐标为(1,0),直线AB的方程为y=2(x-1).2由得3x2-5x=0,解得x=0或x=,所以|AB|=×=,又点O到直线AB的距离为d==,因此S△OAB=××=.11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A,B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,设|AM|=e|AB|,则该椭圆的离心率e=.解析:由于直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A,B,所以A,B(0,a).由消去y,得x2+2cx+c2=0,所以M(-c,a-ec).由|AM|=e|AB|,可知AM=eAB,即=e,所以a-ec=ae,即1-e2=e,解得e=或(舍去).三、解答题12.设直线y=x+b与椭圆+y2=1相交于A,B两个不同的点.(1)求实数b的取值范围;(2)当b=1时,求|AB|.解:(1)将y=x+b代入+y2=1,消去y,整理得3x2+4bx+2b2-2=0.①因为直线y=x+b与...

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