第二章函数与导数第9课时指数函数、对数函数及幂函数(3)1.已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(2)12.函数f(x)＝的定义域为________．答案：(1，2]3.函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的图象恒过一定点是________．答案：(2，2)4.幂函数y＝f(x)的图象过点，则满足f(x)＝27的x的值是________．答案：解析：设f(x)＝xα，则(－2)α＝－，∴α＝－3，∴f(x)＝x－3.由f(x)＝x－3＝27，得x＝.5.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a、b、c的大小关系为________．答案：a>b>c解析：a＝1＋，b＝1＋，c＝1＋，考查函数y＝log2x，有0b>c.6.如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．答案：解析：由条件得，2＝logx，2＝x，所以xA＝，xB＝4，于是xC＝4，所以yC＝＝，所以点D的坐标为.7.已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是________．答案：[0，1]解析：由题意，a＝0或所以0≤a≤1.8.已知函数f(x)＝若a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是________．答案：(10，12)解析：不妨设af(x＋3)．解：由条件知，>0，解得－1f(x＋3)，得x2－x>x＋3，解得x<－1或x>3，所以不等式的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．10.已知函数f(x)＝(log33x)，x∈，求函数f(x)的最大值和最小值．解：f(x)＝(log3x－3)(log3x＋1)＝(log3x)2－2log3x－3.令log3x＝t，∵x∈，∴t∈[－3，－2]，∴g(t)＝t2－2t－3＝(t－1)2－4在t∈[－3，－2]上是减函数，∴fmax(x)＝g(－3)＝12，fmin(x)＝g(－2)＝5.11.函数y＝logax(x＞1，a＞1)图象上有A、B、C三点，横坐标分别为m、m＋2、m＋4.(1)求△ABC的面积S＝f(m)；(2)判断S＝f(m)的单调性和值域．解：(1)S△ABC＝S梯形AA1B1B＋S梯形BB1C1C－S梯形AA1C1C＝[logam＋loga(m＋2)]×2＋[loga(m＋2)＋loga(m＋4)]×2－[logam＋loga(m＋4)]×4＝2loga(m＋2)－logam－loga(m＋4)＝loga.又logam＞0，∴m＞1.故S＝f(m)＝loga(m＞1)．(2)由f(m)＝loga＝loga[1＋]，∵1＋在(1，＋∞)上为减函数，又a＞1，故f(m)在(1，＋∞)上为减函数．下面求值域：∵m＞1，∴m(m＋4)＝m2＋4m＝(m＋2)2－4＞5，则0＜＜，从而有1＜1＋＜.又a＞1，∴0＜loga＜loga，即0＜f(m)＜loga.故f(m)的值域为.
