第50课抛物线[最新考纲]内容要求ABC顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质√1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦半径|PF|x0＋－x0＋y0＋－y0＋1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)1(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长AB＝x1＋x2＋p.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]3．抛物线y＝x2的准线方程是________．y＝－1[ y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．(1,0)[抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]5．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．9[设点M的横坐标为x，则点M到准线x＝－1的距离为x＋1，由抛物线的定义知x＋1＝10，∴x＝9，∴点M到y轴的距离为9.]抛物线的定义及应用(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，AF＝x0，则x0＝________.(2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则AC＋BD的最小值为__________．(1)1(2)2[(1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线l的方程为x＝－.设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知d＝AF.从而x0＋＝x0，解得x0＝1.(2)由y2＝4x，知p＝2，焦点F(1,0)，准线x＝－1.根据抛物线的定义，AF＝AC＋1，BF＝BD＋1.因此AC＋BD＝AF＋BF－2＝AB－2.所以AC＋BD取到最小值，当且仅当AB取得最小值，又AB＝2p＝4为最小值．故AC＋BD的最小值为4－2＝2.][规律方法]1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，由定义易得PF＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为AB＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求2出．[变式训练1]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则QF＝________.【导学号：62172274】3[ FP＝4FQ，∴FP＝4FQ，∴＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则AF＝4，∴＝＝，∴QQ′＝3.根据抛物线定义可知QF＝QQ′＝3.]抛物线的标准方程如图501，已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．图501[解]设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x，由得x＝0或x＝.∴A点坐标为，同理得B点坐标为(2pk2，－2pk)，由OA＝1，OB＝8，可得②÷①得k6＝64，即k2＝4.则p2＝＝.又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x.[规律方法]1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．[变式训练2]写出适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点与双曲...
