【成才之路】2015-2016学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入知能基础测试新人教B版选修2-2时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2015·新课标Ⅰ理，1)设复数z满足＝i，则|z|＝()A．1B.C.D．2[答案]A[解析]由＝i得，z＝＝＝i，故|z|＝1，故选A.2．若复数1＋i、－2＋i、3－2i在复平面上的对应点分别为A、B、C，BC的中点D，则向量AD对应的复数是()A.－iB．＋iC．－＋iD．－－i[答案]D[解析]A(1,1)，B(－2,1)，C(3，－2)，∴D(，－)，∴AD＝(－，－)．AD对应复数为－－i.3．设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝()A．8B．6C．4D．2[答案]C[解析]考查阅读理解能力和复数的概念与运算． a(z)表示使zn＝1的最小正整数n.又使in＝1成立的最小正整数n＝4，∴a(i)＝4.故选C.4．(2015·山东理，2)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i[答案]A[解析]因为＝i，所以＝i(1－i)＝1＋i，∴z＝1－i.故选A.5．已知a、b∈R，且为实数，则a·b等于()A．－1B．－2C．2D．1[答案]A[解析] ＝＝为实数，∴1＋ab＝0，∴a·b＝－1.故选A.6．i是虚数单位，复数＝()A．1－iB．－1＋iC.＋iD．－＋i[答案]A1[解析]本题考查复数的加、减、乘、除四则运算．原式＝＝＝1－i，故选A.7．若1＋x＋x2＝0，则1＋x＋x2＋…＋x100等于()A．0B．1C．－±iD．±i[答案]D[解析]由1＋x＋x2＝0得x＝－±i.由ω的性质得1＋x＋x2＋…＋x100＝x99＋x100＝x99(1＋x)＝1＋x＝±i.故选D.8．若i是虚数单位，且满足(p＋qi)2＝q＋pi的实数p、q一共有()A．1对B．2对C．3对D．4对[答案]D[解析]由(p＋qi)2＝q＋pi得(p2－q2)＋2pqi＝q＋pi，所以，解得或或或.因此满足条件的实数p、q一共有4对．故选D.9．设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i[答案]A[解析]考查了复数的运算．z－2i＝＝2＋i，∴z＝2＋3i.10．当m∈R时，方程(1－i)x2＋mx－(1＋i)＝0有()A．两不等实根B．一对共轭虚根C．两非共轭虚根D．一个实根和一个虚根[答案]C[解析]令m＝0，则x2＝＝i，∴x＝＋i或x＝－－i排除A、B、D.[说明]虚系数一元二次方程不能用判别式，本题中Δ＝m2＋4(1＋i)(1－i)＝m2＋8>0，但不能因此说此方程有两不等实根．故选C.11．设向量OZ1、OZ2分别对应非零复数z1、z2，若OZ1⊥OZ2，则是()A．非负数B．纯虚数C．正实数D．不确定[答案]B[解析] OZ1⊥OZ2，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则有ac＋bd＝0.∴＝＝＝i.故选B.12．设复数z＝lg(m2－1)＋i，z在复平面内的对应点()A．一定不在一、二象限B．一定不在二、三象限C．一定不在三、四象限D．一定不在二、三、四象限[答案]C[解析] ，2∴m＜－1，此时lg(m2－1)可正、可负，＞，故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．已知x＋＝－1，则x2015＋的值为________．[答案]－1[解析] x＋＝－1，∴x2＋x＋1＝0.∴x＝－±i，∴x3＝1.2015＝3×671＋2，x2015＝x3×671＋2＝x2，∴x2015＋＝x2＋＝2－2＝(－1)2－2＝－1.14．已知复数z＝(5－2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．[答案]21[解析]本题考查复数的运算及复数的概念．由题意z＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i＋(2i)2＝21＋20i，其实部为21.复数z＝a＋bi的实部为a，虚部为b.15．复数z与(z＋2)2－8i均为纯虚数，则z＝________.[答案]－2i[解析]设z＝mi(m≠0)，则(z＋2)2－8i＝(4－m2)＋(4m－8)i是纯虚数，∴，∴m＝－2.16．若复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则其共轭复数＝________.[答案]i[解析]本题考查共轭复数的概念及复数的代数运算． z(1＋i)＝1－i，∴z＝＝＝－i，∴＝i.三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋＜0，求z.[解析]设z＝x＋yi(x、y∈R，y≠0)，∴x2＋y2＝1.则z2＋2z＋＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i. y≠0，z2＋2z＋<0，∴又x2＋y2＝1.③由①②③得.∴z＝－±i.18．(本题满分12...
