法向量的应用 公开课 新课标 课件VIP专享VIP免费

法向量的应用课本P33已知向量ABa�和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作点A在l上的射影A’，作点B在l上的射影B’，则''AB�叫做向量AB�在轴上或在e方向上的正射影，简称射影.''cos,ABABaeae�''ABnABaen��课本P41如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a⊥.如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量.lalABB1A1enPAOMNBAMNnPAndn�ABndn�11ABnABn��ab结论1点P到平面的距离可以通过，在平面内任取一点A，求向量PA�在平面的法向量n上的投影来解决.nPAOMNPAndn�结论2异面直线间的距离可以通过，在两条直线上任意各取一点A、B，求向量AB�在公共法向量n上的投影来解决.BAMNnABndn�ab例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长1，求异面直线DA1与AC的距离。ABDCA1B1C1D1xyz一、求异面直线的距离1,1,1n例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。二、求点到平面的距离DABCGFExyz例3、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。DABCGFExyz三、求直线与平面间距离例4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyznnDAd四、求平面与平面间距离四种距离的计算异面直线的距离点到平面的距离直线到与它平行平面的距离两个平行平面的距离三种角的计算异面直线所成的角直线和平面所成的角二面角异面直线所成角的计算求异面直线AB与CD所成角的计算，可以先转化为计算向量AB�与CD�的夹角，即计算cos,ABCDABCDABCD���斜线与平面所成角的计算斜线PA与平面所成角的计算，可以先求向量PA�与平面的法向量n之间的夹角(即斜线PA与平面的垂线的夹角)，然后利用余角关系求出斜线与平面所成角.nPAO2,nPA求二面角的平面角，可以先求组成二面角的两个半平面的法向量之间的夹角，然后再确定二面角的大小.二面角的平面角的计算PBAlQnmxyzAA1BCDD1C1B1P已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是AD的中点.①求直线AD1与平面PBD1所成角；②求二面角A—BD1—P的大小.例题AB=2垂直与平行的证明♣直线与平面的平行与平面的法向量垂直♣直线与平面的垂直与平面的法向量平行♣平面与平面的平行两个平面的法向量平行♣平面与平面的垂直两个平面的法向量垂直xy如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°．侧棱AA1=2，D、E分别是CC1和A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．⑴求A1B与平面ABD所成角的大小；⑵求点A1到平面AED的距离．2003年全国高考题ABCDEGA1B1C1z建立空间坐标系利用现有三条两两垂直的直线注意已有的正、直条件相关几何知识的综合运用xyxABCDPBCDAABC1CA1B1正三棱锥正四棱锥正三棱柱zyzxyz（2005年高考题）已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点.21（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.APMDCByzxx在四棱锥PABCD底面为一直角梯形，90BAD，//ADBC，ABBCa，2ADa且PA底面ABCD，PD与底面成30角.⑴若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；⑵在⑴的条件下，求异面直线AE与CD所成角的大小.PABDCEyz练习xyzAA1BCDD1C1B1P?已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是AD的中点.⑴求点A1到平面PBD1的距离；⑵求异面直线AA1与BD1的距离.练习⑴平面1PBD的法向量2,1,1n1,0,02,1,12155d⑵异面直线1AA与1BD的公共法向量1,1,0m�0,1,01,1,02212d