§7.6双曲线考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考§7.6双曲线双基研习•面对高考1．双曲线的定义(1)定义：平面内两定点为F1、F2，当动点P满足条件点P到点F1、F2的距离差的绝对值________常数(小于|F1F2|)时，P点轨迹为双曲线；F1、F2是双曲线的两个_________．(2)定义的数学表达式为：________________________________．等于双基研习•面对高考基础梳理基础梳理焦点||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)思考感悟当2a＝|F1F2|和2a＞|F1F2|时，动点的轨迹是什么？若2a＝0，动点的轨迹又是什么？提示：当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在；当2a＝0时，动点轨迹是线段F1F2的中垂线．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图像标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)性质范围_____________y≥a或y≤－a对称性对称轴：__________对称中心：(0,0)对称轴：x轴、y轴对称中心：____顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1____________，A2__________________渐近线__________y＝±abxx≥a或x≤－ax轴、y轴y＝±bax(0,0)(0，－a)(0，a)性质离心率e＝_____，e∈____________，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝_____；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝_____；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、b、c关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)ca(1，＋∞)2a2b课前热身课前热身1．(2010年高考安徽卷)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A．(22，0)B．(52，0)C．(62，0)D．(3，0)答案：C2．(原创题)已知圆x2＋y2＝4与y轴交于A、B两点，则以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线方程为()A.x24－y23＝1B．y2－x23＝1C.x23－y24＝1D．y2－x24＝1答案：B3．一动圆P与圆O1：x2＋y2＝1和圆O2：x2＋y2－8x＋7＝0均内切，那么动圆P的圆心的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支答案：D4．已知双曲线y25－x2m＝1的离心率e∈[2，＋∞)，则m的取值范围为________．答案：[15，＋∞)5．(2010年高考福建卷)若双曲线x24－y2b2＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±12x，则b等于__________．答案：1考点探究•挑战高考考点突破考点突破双曲线的定义及其应用在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．例例11(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则P到x轴的距离为()A.32B.62C.3D.6【思路点拨】利用双曲线的定义及在△F1PF2中应用余弦定理可解．【解析】在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(22)2＝22＋|PF1|·|FP2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.设P到x轴的距离为h，由S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝12|F1F2|·h，解得h＝62.【答案】B【名师点评】涉及双曲线上的点与两焦点的距离或两焦点的距离之差的问题，优先考虑运用双曲线的定义；焦点三角形问题，涉及边F1F2的对角问题优先考虑余弦定理．变式训练1设F1和F2为双曲线x24－y24＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°.求：(1)△F1PF2的周长；(2)△F1PF2的面积．解： 点P在双曲线x24－y24＝1上，∴||PF1|－|PF2||＝4.在△F1PF2中， ∠F1PF2＝90°且|F1F2|＝42，∴|PF1|2＋|PF2|2＝32.解方程组||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝32，得|PF1|＝23＋2，|PF2|＝23－2，或|PF1|＝23－2，|PF2|＝23＋2.(1)△F1PF2的周长＝|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝43＋42.(2)12SFPF＝12|PF1|·|PF2|＝12(23＋2)(23－2)＝12×8＝4.∴△F1PF2的周长为43＋42，面积为4.双曲线的标准方程求双曲线的标准方程一般用待定系数法．双曲线方程中的a、b、c、e与坐标系无关，只有焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程与坐标系有关．因此确定一个双曲线的标准方程需要以下条件：①a、b；②焦点坐标、渐近线方程．例例22(2010年高考天...
