11.4空间中的垂直关系11.4.2平面与平面垂直第十一章立体几何初步学习目标1.理解二面角、二面角的平面角的概念.2.理解两个平面垂直的定义.3.理解平面与平面垂直的判定定理.4.能运用定理证明一些平面与平面垂直的问题.5.理解平面与平面垂直的性质定理，并能够证明.6.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.学习目标重点：通过直观感知、操作确认，概括出面面垂直的判定定理、性质定理.难点：面面垂直判定定理的应用及二面角的求法，性质定理的证明.知识梳理1.二面角定义一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的，这两个半平面称为二面角的.一、二面角棱面2.二面角的平面角如图所示，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为.直二面角一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，不大于90°的角的大小.平面与平面垂直的判定定理（简称为面面垂直的判定定理）如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.即：如果lα，lβ⊥，则αβ.⊥二、平面与平面垂直平面与平面垂直的性质定理（简称为面面垂直的性质定理）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.即：如果αβ⊥，α∩β＝m，AOα，AOm⊥，则AOβ.⊥例1一求二面角的大小常考题型如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝，则二面角A-BC-A1的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，因为ABBC⊥，B1BBC⊥，AB∩B1B＝B，AB平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，所以BC⊥平面ABB1A1.因为A1B平面ABB1A1，所以BCA⊥1B.又ABBC⊥，所以∠ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角.因为AA1＝1，AB＝，AA1AB⊥，所以∠ABA1＝30°.【答案】A解题归纳【点评】二面角的平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边与二面角的棱垂直，垂足为棱上同一个点，因此这个角所在的平面与棱垂直.变式训练［2019·陕西榆林一中检测］如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为（）A.B.C.1D.D例2二面面垂直的判定与证明问题如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，PA⊥平面ABC.（1）求证：平面PBC⊥平面PAC.（2）若AEPC⊥，E为垂足，F为PB上任意一点.求证：平面AEF⊥平面PBC.【证明】（1） AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即ACBC.⊥ PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PABC.⊥ AC∩PA＝A，AC平面PAC，PA平面PAC，∴BC⊥平面PAC.BC 平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.（2）由（1）知BC⊥平面PAC， AE平面PAC，∴AEBC.⊥又 AEPC⊥，BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，∴AE⊥平面PBC. AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC.解题归纳判断或证明面面垂直的方法①面面垂直的定义：二面角的平面角是90°；②面面垂直的判定定理：证明一个平面经过另一个平面的垂线（aβ⊥，aααβ⊥）.变式训练1.如图所示，已知ABCD是平行四边形，且PA＝PC，PD＝PB.求证：平面PAC⊥平面ABCD.【证明】如图，连接BD交AC于点O，连接PO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是BD与AC的中点.因为PA＝PC，PD＝PB，所以PODB⊥，POAC.⊥因为DB∩AC＝O，DB平面ABCD，AC平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.又因为PO平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD.变式训练2.［2019·河南驻马店高二检测］如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形且∠ABC＝，PA⊥平面ABCD，EDPA∥，PA＝2ED＝2.证明：平面PAC⊥平面PCE.【证明】连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF（图略）. O，F分别为AC，PC的中点，∴OFPA∥，且OF＝PA. DEPA∥，且DE＝PA，∴OFDE∥，且OF＝DE.∴四边形OFED为平行四边形，∴ODEF∥，即BDEF.∥ PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴PABD.⊥ 四边形ABCD是菱形，∴BDAC.⊥ PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC....
