第1节坐标系(对应学生用书第188～189页)1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λxλ>0y′＝μyμ>0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcosθ，y＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)．质疑探究1：平面内的点与点的直角坐标的对应关系是什么？与点的极坐标呢？提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应关系，而与点的极坐标不是一一对应关系，当规定ρ≥0,0≤θ＜2π后点的极坐标与平面内的点就一一对应了．3．简单曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程θ＝α(ρ∈R)表示过极点且与极轴成α角的直线；ρcosθ＝a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；ρsinθ＝b表示过(b，π2)且平行于极轴的直线；ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程．(2)圆的极坐标方程ρ＝2rcosθ表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆；ρ＝2rsinθ表示圆心在(r，π2)，半径为|r|的圆；ρ＝r表示圆心在极点，半径为|r|的圆．质疑探究2：极坐标系内，若点的极坐标不满足曲线的极坐标方程，则该点是否一定不在曲线上？提示：由于极坐标系内点的极坐标表示不惟一，故当点的极坐标不满足曲线的极坐标方程时，该点也有可能在曲线上．1．在极坐标系中，若点A，B的坐标分别是(3，π3)，(4，－π6)，则△AOB为(B)(A)钝角三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)等边三角形解析：由题意知∠AOB＝π3－(－π6)＝π2，故选B.2．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为(C)(A)一条射线和一个圆(B)两条直线(C)一条直线和一个圆(D)一个圆解析： ρcosθ＝4sinθcosθ，∴ρ＝4sinθ或cosθ＝0，∴ρ2＝4ρsinθ或θ＝kπ＋π2.∴x2＋y2＝4y或x＝0.∴ρcosθ＝2sin2θ表示一条直线和一个圆．3．极坐标方程ρsin(θ－π4)＝2的直角坐标方程是________．解析：由ρsin(θ－π4)＝ρsinθcosπ4－ρcosθsinπ4＝2知22y－22x＝2，即x－y＋2＝0.答案：x－y＋2＝04．(2010年高考广东卷)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．解析：法一：两条曲线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝2y，x＝－1.联立解得x＝－1，y＝1.由ρ＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0得点(－1,1)的极坐标为(2，3π4)．法二：由ρ＝2sinθρcosθ＝－1得sin2θ＝－1， 0≤θ<2π，∴0≤2θ<4π，∴2θ＝3π2或2θ＝3π2＋2π，∴θ＝3π4或θ＝7π4(舍)，从而ρ＝2，即交点的极坐标为(2，3π4)．答案：(2，3π4)(对应学生用书第189～190页)伸缩变换的应用【例1】求函数y＝sin(2x＋π4)经伸缩变换x′＝2xy′＝12y后的解析式．思路点拨：利用伸缩变换公式x′＝2xy′＝12y得x＝12x′y＝2y′代入已知函数解析式可得变换后的解析式．解：由x′＝2xy′＝12y得x＝12x′，y＝2y′.①将①代入y＝sin(2x＋π4)，得2y′＝sin(2·12x′＋π4)，即y′＝12sin(x′＋π4)．平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：x′＝λx，y′＝μy的作用下的变换方程的求法是将x＝x′λy＝y′μ代入y＝f(x)，得y′μ＝f(x′λ)，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．极坐标与直角坐标的互化【例2】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方...
