在给定条件下求函数的解析式f(x),是高中数学中经常涉及的内容,形式多样,没有一定的程序可循,综合性强,解起来有相当的难度,但是只要认真仔细去探索,还是有一些常用之法.下面谈谈求函数解析式f(x)的方法.一、配凑法例1已知f()=+,求f(x).xx+1x2x2+1x1∴f(x)=x2-x+1(x≠1).解:∵f()=+xx+1x2x2+1x1=1++x21x1=(+1)2-(+1)+1x1x1并且≠1,xx+1=()2-()+1xx+1xx+1评注:若在给出的函数关系式中与的关系不明显时,要通过恒等变形寻找二者的关系.+x2x2+1x1xx+1二、换元法所以f(x)=2lnx-3(x>0).评注:通过换元,“”“”用新元代替原表达式中的旧元,从而求得f(x).又如:已知f(cosx-1)=cos2x.求f(x).例2已知f(ex)=2x-3,求f(x).解:设t=ex,则x=lnt且t>0,有:f(t)=2lnt-3(t>0).f(x)=2x2+4x+1(-2≤x≤0)三、解方程组法例3已知f(x)+f()=1+x(x≠0,1),求f(x).xx-1解:记题中式子为①式,用代替①中的x,整理得:xx-1f()+f()=,②xx-11-x1x2x-1再用代替①中的x,整理得:1-x1f()+f(x)=,③1-x11-x2-x解由①,,②③组成的方程组,得:2x(x-1)x3-x2-1f(x)=.评注:把f(x),f(),f()“”都看作未知数,把已知条件化为方程组的形式解得f(x).又如:已知af(x)+bf()=cx,其中,|a|≠|b|,求f(x).xx-11-x11xf(x)=(ax-).a2-b2cbx四、递推求和法例4已知f(n)-f(n-1)=an,n为不小于2的自然数,a≠0且f(2)=8,求f(n)的解析式.解:由已知,f(3)-f(2)=a3,f(4)-f(3)=a4,…,f(n)-f(n-1)=an,将这(n-2)个式子相加,得:评注:这是运用数列中递推公式的思想.f(n)-f(2)=a3+a4+…+an=n-2(a=1时);a3(1-an-2)(1-a)-1(a≠1时).∴f(n)=n+6(a=1时);8+(a3-an+1)(1-a)-1(a≠1时).∵f(2)=8,五、待定系数法例5设f(x)是二次函数，f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,求f(x).解:可设:f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c).比较系数得:a=1,b=0,c=-1.从而有:f(x)=x2-1.又由已知f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,∴13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)与13x2+6x-1表示同一个式子,即13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)≡13x2+6x-1.f(x)=ax2+bx+c（a0）,从而有:例6已知f{f[f(x)]}=27x+13,且f(x)是一次式,求f(x).解:由已知可设f(x)=ax+b,则:f[f(x)]=a2x+ab+b.∴f{f[f(x)]}=a3x+a2b+ab+b.由题意知:a3x+a2b+ab+b≡27x+13.比较系数得:a=3,b=1.故f(x)=3x+1.六、数学归纳法例7已知f(n+1)=2+f(n)(n∈N+),且f(1)=a,求f(n).12解:f(1)=af(2)=2+a12=4-21+2-1a,故猜想:f(n)=4-23-n+21-na,用数学归纳法证明如下:f(5)=2+f(4)12f(3)=2+f(2)=3+a1214=4-20+2-2a,f(4)=2+f(3)=+a127218=4-2-1+2-3a,=4-2-2+2-4a,=4-22+20a,证明从略.故f(n)=4-23-n+21-na.评注:先用不完全归纳法摸索出规律,再用数学归纳法证明,适用于自然数集上的函数.1:(1)4[()4]2fnfn法二例8、已知定义域为R的函数)(xf满足xxxfxxxff22)()(。若有且仅有一个实数0x,使得00)(xxf。求函数)(xf的解析表达式.七、其它分析：因为对任意xεR，有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0.所以对任意xεR，有f(x)-x2+x=x0.在上式中令x=x0,有f(x0)-x20+x0=x0,又因为f(x0)-x0，所以x0-x20=0，故x0=0或x0=1.若x0=0，则f(x)-x2+x=0，即f(x)=x2–x.但方程x02–x0=x0有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.若x2=1,则有f(x)-x2+x=1，即f(x)=x2–x+1.易验证该函数满足题设条件.综上，所求函数为f(x)=x2–x+1（xR）.
