第三节推理与证明重点难点重点：①掌握合情推理和演绎推理．②能熟练地运用综合法和分析法证题．难点：①用综合法、分析法、反证法证题的思路．②信息转换、逻辑分析．知识归纳1．推理的概念根据一个或几个已知判断(事实或假设)得出一个新的判断的思维过程叫推理，推理一般由两部分组成：前提和结论．推理一般分为合情推理和演绎推理两类．2．合情推理前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理，数学中常见的合情推理是归纳推理和类比推理．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．(1)归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理．归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质．②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．(2)类比推理根据两类不同事物之间具有的某些类似(或一致)性推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质，这样的推理叫类比推理．类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的．所以类比推理属于合情推理．类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)推导出特殊性命题为真的推理形式称作演绎推理．它的特征是：当前提为真时，结论必然为真．(1)三段论推理三段论推理是演绎推理的一般模式．它包括：①大前提——已知的一般性原理．M是P②小前提——所研究的特殊情况．S是M③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．S是P.※(2)假言推理假言推理的规则是：“若p⇒q，p真，则q真”．它的本质是，通过验证结论的充分条件为真，从而判断结论为真．※(3)关系推理推理规则是：“如果aRb，bRc，则aRc”(其中R表示具有传递性的关系)，这种推理叫关系推理，如：由a∥b，b∥c，推出a∥c，若a≥b，b≥c，则a≥c，都是关系推理．(4)完全归纳推理把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．4．直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理、法则等，直接推证结论的真实性．(1)综合法从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证结论．是一种由因导果的方法．(2)分析法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实，是一种执果索因的方法．分析法的特点是：从“未知”看需知，逐步靠拢“已知”，其每步推理都是寻求使每一步结论成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件为止．综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其每步推理都是寻找使每一步结论成立的必要条件．5．反证法一般地，由证明p⇒q，转向证明¬q⇒r⇒…⇒t，而t与已知矛盾或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的证明方法叫做反证法．数学中的命题，都有题设条件和结论两部分，反证法是从否定这个命题的结论出发，通过正确、严密的逻辑推理，由此引出一个新的结论，而这个新结论与已知矛盾，得出结论的反面不正确，从而肯定原结论是正确的一种间接证明方法．这里所谓的“与已知矛盾”主要是指：(1)与假设自相矛盾．(2)与数学公理、定理、公式、法则、定义或已被证明了的结论矛盾．(3)与公认的简单事实矛盾．反证法主要适用于以下情形：①结论本身是以否定形式出现的一类命题；②关于唯一性、存在性的命题；③结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；④结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；⑤要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰的命题．⑥如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．误区警示1．用作商比较法时，要注意除式的符号，否则易出错．因为AB>1，若B>0，有A>B，但若B<0，则有A
