高中数学 64(数列求和)课件VIP免费

§6.4数列求和基础知识自主学习要点梳理1．等差数列前n项和Sn＝＝，推导方法：；等比数列前n项和Sn＝，q＝1，＝，q≠1.推导方法：乘公比，错位相减法．n(a1＋an)2na1＋n(n－1)2d倒序相加法na1a1(1－qn)1－qa1－anq1－q2．常见数列的前n项和(1)1＋2＋3＋…＋n＝；(2)2＋4＋6＋…＋2n＝；(3)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝；(4)12＋22＋32＋…＋n2＝；(5)13＋23＋33＋…＋n3＝.n(n＋1)2n2＋nn2n(n＋1)(2n＋1)6[n(n＋1)2]23．(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．4．常见的拆项公式(1)1n(n＋1)＝1n－1n＋1；(2)1(2n－1)(2n＋1)＝1212n－1－12n＋1；(3)1n＋n＋1＝n＋1－n.[难点正本疑点清源]1．数列求和的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．2．等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．基础自测1．在等差数列{an}中，Sn表示前n项和，a2＋a8＝18－a5，则S9＝________.解析由等差数列的性质，a2＋a8＝18－a5，即2a5＝18－a5，∴a5＝6，又 S9＝(a1＋a9)×92＝9a5＝54.542．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－12n，其中前n项和Sn＝32164，则项数n＝________.解析 an＝2n－12n＝1－12n，∴Sn＝n－12＋122＋…＋12n＝n－1＋12n，而32164＝5＋164，∴n－1＋12n＝5＋164，∴n＝6.63．已知等差数列的公差d<0，前n项和记为Sn，满足S20>0，S21<0，则当n＝________时，Sn达到最大值．解析 S20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)>0，S21＝21a11<0，∴a10>0，a11<0，∴n＝10时，Sn最大．104．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为3的等比数列，则an等于()A.3n＋12B.3n＋32C.3n－12D.3n－32解析a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an＝1×(1－3n)1－3＝3n－12.C5．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n－1)·(3n＋2)，…的前n项和为()A.n3n＋2B.n6n＋4C.3n6n＋4D.n＋1n＋2解析由数列通项公式1(3n－1)·(3n＋2)＝1313n－1－13n＋2，得前n项和Sn＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n－1－13n＋2)＝1312－13n＋2＝n6n＋4.B题型分类深度剖析题型一公式法求和例1已知数列{an}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，－2a3成等差数列．(1)求公比q的值；(2)求Tn＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．思维启迪：求出公比，用等比数列求和公式直接求解．解(1)由题意得2a5＝4a1－2a3. {an}是等比数列且a1＝4，公比q≠1，∴2a1q4＝4a1－2a1q2，∴q4＋q2－2＝0，解得q2＝－2(舍去)或q2＝1，∴q＝－1.(2) a2，a4，a6，…，a2n是首项为a2＝4×(－1)＝－4，公比为q2＝1的等比数列，∴Tn＝na2＝－4n.探究提高应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式．变式训练1在等比数列{an}中，a3＝9，a6＝243，求数列{an}的通项公式an及前n项和公式Sn，并求a9和S8的值．解在等比数列{an}中，设首项为a1，公比为q，由a3＝9，a6＝243，得q3＝a6a3＝2439＝27，∴q＝3.由a1q2＝a3，得9a1＝9，∴a1＝1.于是，数列{an}的通项公式为an＝1×3n－1＝3n－1，前n项和公式为Sn＝1×(1－3n)1－3＝3n－12.由此得a9＝39－1＝6561，S8＝38－12＝3280.点评本题是等比数列通项公式及前n项和公式的应用，在等比数列中，如果a1和q确定了，数列也就确定了，从而可以写出通项公式an和前n项和公式Sn...