1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象习题课——函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用学习目标思维脉络1.了解函数y=Asin(ωx+φ)中参数A,ω,φ的物理意义.2.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象,确定其解析式.3.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,会用y=Asin(ωx+φ)的性质解题.1.简谐运动简谐运动y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))中,A叫振幅,T=2π𝜔叫周期,f=𝜔2π叫频率,ωx+φ叫相位,φ叫初相.做一做1函数y=2sinቀ𝑥2+π5ቁ的周期、振幅、初相依次是()A.4π,-2,π5B.4π,2,π5C.π,2,-π5D.π,-2,2π5解析: A=2,ω=12,∴周期T=2π12=4π,振幅A=2,初相φ=π5.答案:B2.函数y=Asin(ωx+φ)的性质函数y=Asin(ωx+φ)的性质(其中A,ω,φ为常数)如下:(1)定义域为R.(2)值域为[-|A|,|A|].(3)周期为T=2π|𝜔|.(4)当φ=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数;当φ=π2+kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数.(5)对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,其基本思想是把ωx+φ看作一个整体,由-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπ(k∈Z)解出x的范围,所得区间即为函数的单调递增区间;由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπ(k∈Z)解出x的范围,所得区间即为函数的单调递减区间.若函数y=Asin(ωx+φ)中A>0,ω<0,可用诱导公式将函数变为y=-Asin(-ωx-φ),则y=Asin(-ωx-φ)的单调递增区间为原函数的单调递减区间,单调递减区间为原函数的单调递增区间.(6)y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴方程由ωx+φ=π2+kπ(k∈Z)求得,即x=π2-𝜑+𝑘π𝜔(k∈Z).对称中心由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得,即为ቀ𝑘π-𝜑𝜔,0ቁ(k∈Z).做一做2(1)函数y=3cosቀ2𝑥+π7ቁ-2的最大值是()A.-2B.-1C.0D.1(2)若函数f(x)=sin𝑥+𝜑3(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=()A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析:(1)当cosቀ2𝑥+π7ቁ=1时,函数y=3cosቀ2𝑥+π7ቁ-2取得最大值1.(2) f(x)=sin𝑥+𝜑3是偶函数,∴𝜑3=kπ+π2(k∈Z),∴φ=3kπ+3π2(k∈Z).又 φ∈[0,2π],∴当k=0时,φ=3π2.故选C.答案:(1)D(2)C思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若函数y=Asin(ωx+φ)是偶函数,则有φ=kπ+π2(k∈Z).()(2)若函数y=Asin(ωx+φ)关于点(x0,0)对称,则有ωx0+φ=kπ(k∈Z).()(3)若函数y=Asin(ωx+φ)在区间[a,b]上是单调函数,则一定有b-a≤𝑇2(T为函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期).()答案:(1)√(2)√(3)√探究一探究二探究三规范解答探究一求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式探究一探究二探究三规范解答分析:可由最高点、最低点确定A,再由周期确定ω,然后由图象的平移变换或由图象过已知点确定φ.解:该函数的周期T=13π3−π3=4π,∴ω=2π𝑇=12.又 函数的最大值为3,故A=3.∴y=3sinቀ12𝑥+𝜑ቁ.法一:所给图象是由函数y=3sin𝑥2向右平移π3个单位长度得到的,于是所求解析式为y=3sinቂ12ቀ𝑥-π3ቁቃ,即y=3sinቀ12𝑥-π6ቁ.探究一探究二探究三规范解答法二: 周期为4π,∴由图象知最大值点为ቀ4π3,3ቁ.∴3sinቀ12×4π3+𝜑ቁ=3.∴2π3+φ=2kπ+π2,k∈Z.∴φ=2kπ-π6,k∈Z. |φ|≤π2,∴φ=-π6.∴所求解析式为y=3sinቀ12𝑥-π6ቁ.探究一探究二探究三规范解答法三: 图象过点ቀ0,-32ቁ,∴3sinφ=-32.∴sinφ=-12.又 -π2≤φ≤π2,∴φ=-π6.∴所求解析式为y=3sinቀ12𝑥-π6ቁ.法四:由图象过点ቀπ3,0ቁ,且该点在递增区间上,∴12×π3+φ=2kπ,k∈Z,∴φ=2kπ-π6,k∈Z. |φ|≤π2,∴φ=-π6.∴所求解析式为y=3sinቀ12𝑥-π6ቁ.探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答探究一探究二探究三规范解答变式训练1探究一探究二探究三规范解答若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<2π)的图象的一部分如图所示,则ω和φ的值是()A.ω=1,φ=π3B.ω=1,φ=-π3C.ω=12,φ=π6D.ω=12,φ=-π6探究一探究二探究三规范解答解析: T=2ቂ2π3-ቀ-π3ቁቃ=2π,∴ω=2π𝑇=1.又图象过点ቀ-π3,0ቁ,且该点在递增区间上,∴-π3+φ=2kπ,k∈Z.∴φ=2kπ+π3,k∈Z,故选A.答案:A探究一探究二探究三规范解答探究二函数y=Asin(ωx+φ)图象的对称性【例2】已知函数f(x)=sinቀ𝜔𝑥+π3ቁ(ω>0)的最小正周期为π,则该函数图象()A.关于...
