11.3空间中的平行关系11.3.3平面与平面平行第十一章立体几何初步学习目标1.理解平面与平面平行的判定定理.2.理解平面与平面平行的性质定理.3.能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.重点：平面与平面平行的判定定理与性质定理及其应用.难点：两个定理的应用.知识梳理1.平面与平面平行的判定定理（简称为面面平行的判定定理）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.平面与平面平行推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.符号表示：如果lα，mα，l∩m≠，lβ∥，mβ∥，则αβ.∥2.平面与平面平行的性质定理（简称为面面平行的性质定理）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号表示：如果αβ∥，α∩γ＝l，β∩γ＝m，则lm.∥常用结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段.ABDEBCEF成比例例1一平面与平面间的位置关系常考题型已知下列说法：①若两个平面αβ∥，aα，bβ，则ab∥；②若两个平面αβ∥，aα，bβ，则a与b是异面直线；③若两个平面αβ∥，aα，bβ，则a与b一定不相交；④若两个平面αβ∥，aα，bβ，则a与b平行或异面；⑤若两个平面α∩β＝b，aα，则a与β一定相交.其中正确的是（将你认为正确的序号都填上）.【解析】①错误.a与b也可能异面.②错误.a与b也可能平行.③正确.αβ ∥，∴α与β无公共点.又 aα，bβ，∴a与b无公共点.④正确.由已知及③知，如果a与b无公共点，那么ab∥或a与b异面.⑤错误.a与β也可能平行.【答案】③④解题归纳【点评】两个平面的位置关系有两种：平行和相交，若没有公共点则平行，若有公共点则相交.熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决此类问题的关键.变式训练如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.不能确定C例2二面面平行的判定与性质<1>线面平行的判定如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1.【解题提示】要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可.【证明】由棱柱的性质知B1C1BC∥，B1C1＝BC.又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1EDB∥，C1E＝DB，所以四边形C1DBE为平行四边形，所以EBC∥1D.又C1D平面ADC1，EB平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.如图，连接ED，则EDB∥1B，ED＝B1B.因为B1BA∥1A，B1B＝A1A，所以EDA∥1A，ED＝A1A.所以四边形EDAA1为平行四边形，所以A1EAD.∥又A1E平面ADC1，AD平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.因为A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E平面A1EB，EB平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.解题归纳判断或证明面面平行的方法（1）平面与平面平行的定义（常用反证法）.此法很少使用.（2）平面与平面平行的判定定理.（3）判定定理的推论.（4）如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行（平行的传递性）.变式训练1.［2019·河南平顶山高一期末节选］如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是CB，CD，CC1的中点.求证：平面AB1D1∥平面EFG.【证明】连接BC1（图略），在正方体ABCD-A1B1C1D1中，ABC∥1D1，AB＝C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1BC∥1.又 E，G分别是BC，CC1的中点，∴EGBC∥1，∴EGAD∥1.又 EG平面AB1D1，AD1平面AB1D1，∴EG∥平面AB1D1.同理EF∥平面AB1D1.又EG平面EFG，EF平面EFG，EG∩EF＝E，∴平面AB1D1∥平面EFG.解题归纳【解题通法】要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.先在一个平面内找两条与另一个平面平行的相交直线，找不到再作辅助线.变式训练2.［2019·安徽黄山高二检测节选］如图，在四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面ABCD，ADBC∥，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PA的中点.求证：平面PCD∥平面BEF.【证明】 E，F分别为线段AD，PA的中点，∴EFPD.∥ EF平面PCD，PD平面PCD，∴EF∥平面PCD. E为AD的中点，∴DE＝AD. BC＝AD，∴BC＝DE.又 ADBC∥，∴DEBC∥，∴四边形BCDE是平行四边形，∴BECD.∥ BE平面PCD，...
