§2依概率收敛与弱大数定律一、依概率收敛二、弱大数定律一、依概率收敛尽管分布函数完全反映了随机变量取值的分布规律,但是两个不同的随机变量可以有相同的分布函数.例如,向区间[0,1]上随机等可能投点,ω表示落点的位置，定义(),,10[,.](.,]005051(),,01[,.](.,]005051.(1)则ξ和η具有相同的分布函数F(x)=,1,2/1,0.1,10,0xxx(2)如果定义n,n1,则nd,但||n1.这表明分布函数收敛性并不能反映随机变量序列取值之间的接近程度.为此需要引入另外的收敛性.定义1设和n是定义在同一概率空间(Ω,F,P)上的随机变量序列.如果对任意ε>0,lim(||)nnP=0,(3)或lim(||)nnP=1,')3(则称n依概率收敛(convergenceinprobability)于，记作nP.注定义1要求所有和n的定义域相同.nP可直观地理解为：除去极小的可能性，只要n充分大，n与的取值就可以任意接近.从上面例子可以看出,由nd并不能导出nP.关于这两种收敛性之间的关系，我们有下面的定理.定理1设和n是定义在概率空间(Ω,F,P)上的随机变量序列.1.如果nP,则nd.2.如果ndc,c为常数，则nPc.证1.设F和Fn分别是和n的分布函数，x表示F的连续点.任意给定ε>0,(xxxxxnn)(,)(,)()()nnx,因此F(x)()()FxPnn.令n→∞,由于nP,故PPnn()(||)0,从而F(x)lim()nnFx.(4)类似地()(,)(,)nnnxxxxx()()xn,从而FxFxPnn()()().令n→∞,得lim()()nnFxFx.(5)连接(4)(5)两式，对任意ε>0,有F(x)lim()nnFxlim()()nnFxFx.由于F在x点连续，令ε→0,就得lim()()nnFxFx,即nd.2.如果ndc，则lim(),,nnFx01xcxc.因此对任意0,有)()(1)()()|(|cPcPcPcPcPnnnnn=1FcFcnn()(),00(n→∞).定理证毕.例1设{n}独立同分布，都为[0,a]上的均匀分布,nnmax{,,,}12.求证nPa.证由定理1,只须证明n的分布函数GxDxanW()(),其中D(x-a)是在a点的退化分布函数.从第二章知道：若k的分布函数为F(x),则n的分布函数为GxFxnn()[()].现在k的分布函数为F(x)=,1,/,0ax.,0,0axaxx故Gxxann(),(/),,01xxaxa00→D(x-a)=01,,xaxa(n→∞).证毕.依概率收敛有许多性质类似于微积分中数列极限的性质,下面仅举两个例子说明这类问题的证题方法.大部分性质放在习题中留给读者自己证明.例2设和n是定义在概率空间(Ω,F,P)上的随机变量序列.求证：1.若nP，nP,则P(ξ=η)=1.2.若nP,f是(-∞,∞)上的连续函数，则f(n)Pf().证1.任意给定ε>0，我们有(||)(||/)(||/)nn22,从而P(||)(||/)(||/)PPnn22.由nP,nP,并注意到上式左方与n无关,得P(||)=0.进一步,P(||)((||/))(||/)01111PnPnnn=0,即P(ξ=η)=1.2.任意给定,0，存在M>0,使得P(|ξ|M)P(|ξ|M/)/24.(6)由于nP,故存在N11,当nN1时,P(||/)/nM24,因此2/4/4/)2/|(|)2/|(|)|(|MPMPMPnn(7)又因f(x)在(-∞,∞)上连续，从而在[-M,M]上一致连续.对给定的ε>0,存在δ>0,当|x-y|<δ时，|f(x)-f(y)|<ε.这样P(|()()|)(||)(||)(||)ffPPMPMnnn.(8)对上面的δ,存在N21,当nN2时,P(||)/n4.(9)结合(6)(7)(8)(9)式,当nmax(,)NN12时，P(|ffn()()|)///424,从而f(n)Pf().为了进一步讨论依概率收敛的条件，我们给出下列切比雪夫不等式(第三章§2)的推广.定理2（马尔科夫不等式）设ξ是定义在概率空间(Ω,F,P)上的随机变量，f(x)是[0,∞)上非负单调不减函数，则对任意x>0,P(|ξ|>x)Effx(||)().(10)证当Ef(|ξ|)=∞时，(10)式显然成立.设Ef(|ξ|)<∞,ξ的分布函数为F(x).因f(x)单调不减，故|y|>x时,f(|yfx|)(),从而xyxyydFxfyfydFxP||||)()(|)(|)()|(|)(|)(|)(1ydFyfxf)(|)(|xfEf.定理3nP当且仅当E||||nn221→0.证充分性：注意到f(x)=xx221在[0,∞]上非负单调不减,对任意ε>0,由定理2P(|nnnE|)||||112222→0,即nP.必要性：设n的分布函数是Fxn().对任意ε>0,)(1)(1)(1||1||||22||222222xdFxxxdFxxxdFxxEnxnxnnn221dFxnx()|=221Pn(||).(11)由于nP,在(11)式两边先令n→∞,再让ε→0，即得证E||||nn221→0.二、弱大数定律考虑随机试验E中的事件A，假设其发生的概率为p(0
