第2节证明不等式的基本方法1．比较法比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较法和作商比较法两种，其基本思想是作差与0比较大小或作商与1比较大小．2．综合法(1)证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)使用综合法证明不等式时应注意对基本不等式或已证不等式的使用，常用的不等式有：①a2≥0；②|a|≥0；③a2＋b2≥2ab，它的变形形式又有(a＋b)2≥4ab，a2＋b22≥(a＋b2)2等；④a＋b2≥ab(a，b>0)，它的变形形式又有a＋1a≥2(a>0)，ba＋ab≥2(ab>0)，ba＋ab≤－2(ab<0)等．3．分析法证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．4．反证法证明命题时先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．5．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．6．数学归纳法与正整数n有关的不等式可考虑用数学归纳法证明．质疑探究：在证明不等式时综合法和分析法有怎样的关系？提示：综合法：由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：从结论出发寻找使结论成立的充分条件，综合法与分析法是对立统一的两种方法．在实际解题时，常常用分析法探求解题思路，用综合法表达．1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是(A)(A)s≥t(B)s>t(C)s≤t(D)sQ>R(B)P>R>Q(C)Q>P>R(D)Q>R>P解析： 2＋2＝22>6，∴2>6－2，即P>R；又 6＋3>7＋2，∴6－2>7－3，即R>Q；从而有P>R>Q.故应选B.3．用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为(C)(A)a，b，c全为0(B)a，b，c至少有一个为0(C)a，b，c至少有一个不为0(D)a，b，c至多有一个不为0解析：“a，b，c全为0”的反面应是“a，b，c中至少有一个不为0”，故选C.4．用数学归纳法证明：设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n≥2，且n∈N＋)，那么第一步要证的等式是________．解析：注意到n≥2，且n∈N＋，所以第一步要证的等式应为2＋f(1)＝2f(2)．答案：2＋f(1)＝2f(2)比较法证明不等式【例1】已知a＞0，b＞0，求证：b2a＋a2b≥a＋b.证明：法一：b2a＋a2b－(a＋b)＝(b2a－a)＋(a2b－b)＝b＋ab－aa＋a－ba＋bb＝1ab(a－b)2(a＋b) a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，1ab＞0，(a－b)2≥0∴b2a＋a2b－(a＋b)≥0，∴b2a＋a2b≥a＋b.(1)作差比较法证明不等式的一般步骤是：作差、变形、判断符号、得出结论．(2)变形整理是关键，变形的目的是为了判断差的符号，常用的变形方法有：因式分解、配方、通分、拆项、添项(如本题解法中将c2－a2变为c2－b2＋b2－a2)等．(3)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比较法．法二：b2a＋a2ba＋b＝a3＋b3aba＋b＝a2－ab＋b2ab≥2ab－abab＝1 b2a＋a2b＞0，a＋b＞0，∴b2a＋a2b≥a＋b.综合法与分析法证明不等式【例2】设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥3；(2)abc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c)．思路点拨：本题是条件不等式，从已知式和待证式的结论较难用比较法证明，因此可利用分析法证明．证明：(1)要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而这可以由ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋b2＋c22＋c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．∴原...
