高考数学总复习 8-7空间向量及其运算(理) 课件 北师大版 课件VIP免费

第七节空间向量及其运算(理)考纲解读1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．考向预测1．以选择、填空的形式考查空间向量的概念、数量积及其运算性质．2．利用向量法判断或证明线面垂直、平行问题．3．利用空间向量来求空间角、距离等问题．4．运用空间向量的线性运算及数量积考查点共线、点共面、线共面问题．知识梳理1．空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运算遵循，数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标．三角形法则和平行四边形法则相同2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使.推论如图所示，点P在l上的充要条件是：a＝λbOP→＝OA→＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB→＝a，则①可化为OP→＝或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→.OA→＋tAB→(2)共面向量定理的向量表达式为：p＝，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O有，OP→＝或OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→，其中x＋y＋z＝.(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝，把e1，e2，e3叫做空间的一个基底．xa＋ybOM→＋xMA→＋yMB→1λ1e1＋λ2e2＋λ3e33．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则叫做向量a与b的夹角，记作，其范围是，若〈a，b〉＝π2，则称a与b，记作a⊥b.∠AOB〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π互相垂直②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则叫做向量a，b的数量积，记作，即．|a||b|cos〈a，b〉a·ba·b＝|a||b|cos〈a·b〉(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝；②交换律：a·b＝；③分配律：a·(b＋c)＝.a·b＋a·cb·aλ(a·b)4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝.a1b1＋a2b2＋a3b3(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔，，，a⊥b⇔＝0⇔(a，b均为非零向量)．a1＝λb1a2＝λb2a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a·b(3)模、夹角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝a·a＝，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝.若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则|AB→|＝.a21＋a22＋a23a2－a12＋b2－b12＋c2－c12a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23基础自测1.(教材改编题)如下图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量中与B1M→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC.12a－12b＋cD．－12a－12b＋c[解析]B1M→＝B1B→＋BM→＝A1A→＋12(BA→＋BC→)＝A1A→＋12(B1A1→＋A1D1→)＝c＋12(－a＋b)＝－12a＋12b＋c.[答案]A2．已知AB→＝(2,4,5)，CD→＝(3，x，y)，若AB→∥CD→，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝152C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝152[解析]AB→∥CD→⇔AB→＝kCD→，得2＝3k，∴k＝23.∴x＝6，y＝152.[答案]D3．已知点A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则AB→与AC→的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]C[解析] AB→＝(0,3,3)，AC→＝(－1,1,0)，∴cos＝332＋32×－12＋12＝12，∴＝60°.4．(2012·广东广州模拟)在空间直角坐标系中，点A(1,1,1)与点B(2,2，－1)之间的距离为()A.6B．6C.3D．2[答案]A[解析]由空间两点间距离公式可得|AB|＝1－22＋1－22＋1＋12＝6.5．在四面体O—ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→＝____________.(用a，b，c表示)[答案]12a＋14b＋14c[解析]OE→＝OA→＋12AD→＝OA...