§6应用性问题[考情解读]数学应用题是指用数学知识来解决的社会生活中有实际背景的问题，这类题目的立意、实际背景、创设的情境、设问的角度和方式新颖灵活，对考生的能力和数学素质有较高的要求，出于考查素质的要求，数学应用题成为近几年高考的热点之一．常见的考查方式有：(1)与函数、导数、方程有关的应用题；(2)与不等式有关的应用题，常涉及到最优化等问题；(3)与数列有关的应用题，常涉及到增长率、利率等问题；(4)与三角形有关的问题；(5)概率统计应用题；(6)立体几何与解析几何应用题．把实际问题抽象为数学问题来解决，把数学知识运用到生产、生活的实际中去，形成应用数学意识，是培养学生分析问题、解决问题的能力的需要．处理这一问题，通常分为四步：(1)读题：读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄懂题中出现的量及数学含义，边读题边画出示意图，标出已知量和所求量；(2)建模：根据各个量的关系，进行数学化设计，即建立数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)求解：进行标准化设计，即转化为常规的数学问题加以解决；(4)评价：对结果进行评估或验证，对错误进行调节，或限制范围或舍去，最后写出结论或作答．分类突破热点一函数、导数、不等式的应用题高考中的数学应用题，大多是以函数知识作为背景设计的．所涉及到的函数主要是一次函数、反比例函数、二次函数、分段函数以及形如y＝ax＋bx的函数等．解答函数应用题，一般都是从建立函数表达式着手，将实际问题数学化，将文字或图形语言数学化，最终在其定义域内给出完整准确的解答．例1某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝3x＋1x＋1(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？[规范解答示例]解(1)由题意，每年销量为Q万件，共计成本为(32Q＋3)万元，销售收入为(32Q＋3)·150%＋x·50%，∴年利润y＝年收入－年成本－年广告费＝12(32Q＋3－x)＝12(32×3x＋1x＋1＋3－x)＝－x2＋98x＋352(x＋1)(x≥0)，∴所求的函数关系式为y＝－x2＋98x＋352(x＋1)(x≥0)，4分当x＝100时，y<0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损.6分(2)由y＝－x2＋98x＋352(x＋1)(x≥0)可得y′＝(－2x＋98)(x＋1)－(－x2＋98x＋35)2(x＋1)2＝－x2－2x＋632(x＋1)2.8分令y′＝0，则x2＋2x－63＝0，∴x＝－9(舍去)或x＝7.又x∈(0,7)时，f′(x)>0；x∈(7，＋∞)时，f′(x)<0.∴f(x)极大值＝f(7)＝42.10分又 在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(7)＝42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大.12分[易错提醒](1)分不清各个量之间的关系，导致列出错误的关系式；(2)找不到恰当的最优解的求法，忽视在自变量的取值范围内求最优解才有意义．热点二概率与统计例2甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．[规范解答示例]解(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，则P(A)＝C14·C22C36＝420＝15，P(B)＝(1－23)3＋C13·23(1－23)2＝127＋29＝727，3分则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B)＝1－15×727＝128135.6分(2)由题知ξ的可能取值是1,2.P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15，P(ξ＝2)＝C24C12＋C34C36＝45，8分则ξ的分布列为ξ12P1545∴E(ξ)＝1×15＋2×45＝95.12分构建答题模板第一步：求解离散型随机变量的分布列及其期望与方差，首先分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的取值．第二步：根据概率类型选择公式求解变量取每一个值的概率．...
