不等关系及不等式的性质不等关系及不等式的性质考点串串讲1．对性质定理的一般理解(1)性质1和2是显而易见的结论，这是我们已经使用多次的结论．证明中，要用到比较大小的“定义”，还要用到“正数的相反数是负数，负数的相反数是正数”；还有“两个正数的和仍是正数”，证明很严密．(2)性质3是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据．推论是“同向不等式可相加”．(3)性质4的证明，要用到“同号相乘得正，异号相乘得负”的运算法则．使用时要特别注意研究“乘数的符号”．性质4的三个推论也很重要，应注意推论2成立的条件：“a＞b＞0，n∈N，且n＞1”．反例：3＞－4，而32＜(－4)2；3＞－2，而32＞(－2)2.性质4的推论3的证明用的是反证法．应注意，否定na＞nb会出现两种情况，即na＜nb和na＝nb，要分别推出矛盾．2．在对性质的理解上应该注意的问题(1)关于性质2，要正确处理带等号的情况：由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可推得出a＞c；而a≥b，b≥c不一定可以推得a≥c.可能是a＞c，也可能是a≥c.应当这样理解，有了a≥b，b≥c，可能有a＞c，也可能有a＝c.只有当a＝b且b＝c时，才会有a＝c.例如：在α∈[π4，π2]时，有1≥sinα且sinα≥cosα.但是，两个等号成立的条件分别是α＝π2及α＝π4，这就是说两个等号不可能同时成立，只有1＞cosα.(2)性质3的推论是，同向不等式可以相加．可以推出异向不等式可以相减：a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d一般地，两个异向不等式可以相减，其“差不等式”的不等号与被减式一致．(3)性质4中，研究乘数c的符号是关键．例如c≠0时，c2＞0，可以由a＞b得ac2＞bc2.如果是已知c∈R，由a＞b可以得到ac2≥bc2.本结论中，要注意ab＞0的条件：若a＞b，a＞0，b＜0则1a＞1b；不要将ab＞0强化为a＞0且b＞0.3．实数大小的比较(1)作差法：基本原理是将两个实数的大小比较转化为判断这两个数的差的正负，即a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b.(2)作商法：基本原理是将两个同号的实数的大小比较转化为这两个数的商与1的大小比较，即①当b＞0时，ab＞1⇔a＞b；②当b＜0时，ab＞1⇔a＜b.典例对对碰题型一不等式性质例1对于实数a、b、c，判断下列命题的真假．(1)若a＞b，则ac＜bc；(2)若a＞b，则ac2＞bc2；(3)若ac2＞bc2，则a＞b；(4)若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；(5)若a＜b＜0，则1a＜1b；(6)若a＜b＜0，则ba＞ab.解析(1)因c的正负或是否为零未知，无法判断ac与bc的大小，所以是假命题；(2)因c2≥0，所以c＝0时，有ac2＝bc2，故为假命题；(3)由ac2＞bc2，知c≠0，c2＞0，所以为真命题；(4)由a＜b，a＜0，⇒a2＞ab，又a＜b，b＜0，⇒ab＞b2，所以为真命题；(5)例如：－3＜－2＜0，但－13＞－12，所以为假命题．(6)因a＜b＜0⇒－a＞－b＞01a＞1b⇒－a＞－b＞0－1b＞－1a＞0⇒ab＞ba.所以为假命题.变式迁移1当0＜a＜b＜1时，下列不等式正确的是()A．(1－a)1b＞(1－a)bB．(1＋a)a＞(1＋b)bC．(1－a)b＞(1－a)b2D．(1－a)a＞(1－b)b答案D解析 0＜a＜b＜1，∴0＜1－a＜1，∴y＝(1－a)x为减函数．又 1b＞b＞b2＞0，故A、C排除．由(1＋a)a＜(1＋b)a＜(1＋b)b知B也不正确． a＜b，∴(1－a)a＞(1－b)b，故选D.题型二实数比较大小例2若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．分析采用作差或作商法比较大小．解析根据题目的结构特点，可考虑用作差比较法．(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)． x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，∴－2xy(x－y)＞0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．点评比较法的关键是第二步的变形，一般来说，变形越彻底，越有利于下一步的判断.变式迁移2若a≥1，试比较M＝a＋1－a和N＝a－a－1的大小．解析M－N＝(a＋1－a)－(a－a－1)＝1a＋1＋a－1a＋a－1＝a－1－a＋1a＋1＋aa＋a－1＜0.故M＜N.题型三利用不等式性质求代数式的范围例3若已知二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．解析解法一：利用解方程的思想： y＝f(x)＝ax2＋bx＋c过原点∴c＝0....
