第三节直线和平面垂直、平面与平面垂直知识自主·梳理最新考纲1.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理．2．掌握斜线在平面上的射影的概念．3．掌握三垂线定理及其逆定理．4．掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．高考热点1.以选择题形式考查线面、面面位置关系的判定和性质．2．以解答题的形式考查多面体中的线面垂直或面面垂直.1.直线和平面垂直(1)定义：如果一条直线l和一个平面α内的，那么就说这条直线l和平面α互相垂直．(2)判定方法ⅰ.定义ⅱ.判定定理：任意一条直线都垂直2．两个平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．直二面角1．无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”．重点辨析2．在线面垂直和面面垂直的判定定理，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这即为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，所以使用这些理时，一定要注意体现逻辑推理的规范性．3．三垂线定理及其逆定理所论述的是三个垂直关系：一是直线与平面垂直(这是前提)；二是平面内一条直线与斜线的射影(或斜线)垂直；三是这条直线与斜线(或射影)垂直，构成定理的五个元素是“一面四线”．运用三垂线定理及其逆定理的步骤是：确定平面→作出垂线→找到斜线→连成射影→找面内线，其关键是确定平面及平面的垂线．方法规律·归纳题型一直线和平面垂直的判定与性质思维提示①线面垂直的定义②线面垂直的判定定理③注意垂直关系的相互转化例1如图，AC⊥平面α，AB∥平面α，CD⊂α，点M是AC的中点，点N是BD的中点，若AB＝4，AC＝2，CD＝4，BD＝6.(1)求证：AB⊥平面ACD；(2)求证：MN为AC与BD的公垂线，并计算MN的长．(2)如图，过B作BE⊥平面α于E， AB∥平面α，AC⊥平面α，∴四边形ABEC是矩形．∴MN⊥平面BDE，∴MN⊥BD，故MN是异面直线AC与BD的公垂线．由(1)知AB⊥平面ACD，而CE∥AB，∴CE⊥平面ACD，∴CE⊥CD，∴△DCE是等腰直角三角形，∴CF＝12DE＝22，∴MN＝22.[规律总结](1)证线面垂直，需先有线线垂直，在△BAD中应用勾股定理的逆定理，可判断出AB⊥AD，即通过计算来证明垂直关系，这在高考题中也是常用的方法之一．(2)直角三角形的一条直角边平行于平面，则直角在该平面内的射影仍为直角，将图形补充完整，把证MN⊥BD转化为证CF⊥平面BDE.等腰三角形底边的中线垂直于底边是我们常遇到的一种类型．做这种类型题时，应注意抓住这一点．另外反复运用线面垂直的性质定理与判定定理，是解决本题的基本方法.备选例题1如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，A1A＝，D是A1B1的中点．(1)求证：C1D⊥平面ABB1A1；(2)在BB1上找一点F，使AB1⊥平面C1DF，并说明理由．解：(1)证明： ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1.又C1D⊂平面A1B1C1∴，C1D⊥A1A，又A1C1＝B1C1＝AC＝BC＝1，D是A1B1∴的中点，C1D⊥A1B1，∴C1D⊥平面ABB1A1.(2)作DE⊥AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF.这是因为AB1⊥DF，AB1⊥C1D，DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.题型二两个平面垂直的判定思维提示①利用定义证明两个平面所成的二面角是直角②利用面面垂直的判定定理证明一个平面经过另一个平面的一条垂线例2如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面MDB⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.[分析](1)要证明DE＝DA，只需证明Rt△DEFRt△△DAB.(2)注意到M为EA中点，可取CA中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明BN与平面ECA垂直即可．(3)仍需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线．证法二：取AC中点N，连结BN、DM. △ABC是正三角形，∴BN⊥AC于点N.又 EC⊥面ABC，EC⊂面CAE，∴面ACE⊥面ABC，交线为AC.∴BN⊥平面ACE.又 M、N分别是AE、AC中点，在△ACE中，MN綊12CE，又BD∥CE且2BD＝CE，∴BD綊12CE綊MN.[规律总结]在...
