高考数学总复习 第14章§14.2导数的应用精品课件 大纲人教版 课件VIP免费

§14.2导数的应用考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考14.2导数的应用双基研习·面对高考双基研习·面对高考1．函数的单调性与导数的符号的关系(在某个区间上)导数f′(x)的符号函数f(x)的单调性f′(x)>0在该区间内为_______f′(x)<0在该区间内为_______f′(x)＝0在该区间内为_________增函数减函数常数函数2.函数的极值与最值的辨析(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)__f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)__f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．(2)判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，<>①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是_______．②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(3)函数的最大值与最小值在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如f(x)＝1x，x∈(0，＋∞)．极大值思考感悟1．如果f(x)在其定义域内恒有f′(x)>0，则f(x)是否一定是其定义域上的增函数？为什么？提示：不一定．因为导数研究的函数的单调性是一个区间概念，如果定义域为一个连续的区间，则一定是增函数．反之，则不一定是增函数，如f(x)＝－1x在其定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内恒有f′(x)>0，f(x)在每个区间上都是递增的，但f(x)在其定义域内不是增函数．2．函数y＝x3在x＝0处能取得极值吗？提示：在x＝0处不能取得极值．因为f′(x)＝3x2≥0恒成立，在x＝0两侧单调性没发生变化.故在x＝0处不能取得极值．课前热身1．(教材例2改编)函数f(x)＝2x3－6x＋7的极大值为()A．1B．－1C．3D．11答案：D2．函数y＝x－x3的单调递增区间是()A．(－∞，－1)，(1，＋∞)B．(－1,1)C．(－∞，－33)，(33，＋∞)D．(－33，33)答案：D3.函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3,0]上的最大值、最小值分别是()A．1，－1B．1，－17C．3，－17D．9，－19答案：C4．函数f(x)＝2x2－lnx的增区间为____________．5．f(x)＝x(x－b)2在x＝2处有极大值，则常数b的值为________．答案：6答案：[12，＋∞)考点探究·挑战高考用导数研究函数的单调性考点突破若函数y＝f(x)为连续函数，使f′(x)>0的x的取值区间为f(x)的增区间；使f′(x)<0的解集为y＝f′(x)的减区间，注意定义域．已知函数f(x)＝12x2－alnx(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．例1【思路分析】定义域为(0，＋∞)，讨论a，求f′(x)>0和f′(x)<0的解集．【解】依题意知函数的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝x－ax，∴当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>0时，f′(x)＝x－ax＝x＋ax－ax，令f′(x)>0，有x>a，∴函数f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)；令f′(x)<0，有00.若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；并判断此时x＝1处是极大值还是极小值，并求其极值．例例22【思路分析】求f′(x)→令f′(1)＝0→求a→判断．【解】f′(x)＝aax＋1－21＋x2＝ax2＋a－2ax＋11＋x2， f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，即a·12＋a－2＝0，解得a＝1.此时f′(x)＝x－1x＋12.x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.x∈[0,1)时，f′(x)<0，∴x＝1为极小值点，极小值f(1)，f(1)＝ln2.【思维总结】求函数的极值点就是求f′(x)＝0的点．但应注意f′(x)＝0是必要条件，而不是充分条件．互动探究对本题的函数f(x)，要使其存在极值，求a的取值范围．解：f′(x)＝ax2＋a－2ax＋11＋x2. a>0，x≥0，函数y＝f(x)存在极值，则f′(x)＝0有正根．即ax2＋a－2＝0有正根，x∈[0，＋∞)，∴x2＝2－aa>0.∴0