掌握双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单性质．第7课时双曲线【命题预测】1．本讲主要考查椭圆的基本概念和性质，用待定系数法求椭圆方程，椭圆第一、二定义的综合运用，椭圆中各量的计算，关于离心率e的题目为热点问题，各种题型均有考查，属中档题．2．考纲要求掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，所以，近几年的高考试题一直在客观题中考查定义、性质的理解和运用，在解答题中考查轨迹问题和直线与椭圆的位置关系．3．在解析几何与向量的交汇处设计高考题，是近年来高考一个新的亮点，主要考查：(1)将向量作为工具解答双曲线问题；(2)以解析几何为载体，将向量作为条件融入题设条件中．【应试对策】1．注意双曲线中一些基本量及其关系：c2＝a2＋b2，e＝，＝，两准线间的距离为，焦点到相应准线的距离为，焦点到一条渐近线的距离为b，过焦点且垂直于实轴的弦长称为通径，即通径为等，这些量及其关系不会因坐标轴选择而改变．2．求双曲线的方程常用待定系数法，解题时应注意先确定焦点位置，若焦点不确定，则应分类讨论．如不清楚焦点的位置，可设方程为ax2＋by2＝1(ab<0)；若已知双曲线的渐近线方程y＝±x，则设双曲线方程为－＝λ(λ≠0，且λ为参数)，从而避免讨论和复杂的计算．3．对双曲线定义的理解，应注意有关条件(2a<|F1F2|)的限制，否则曲线不是双曲线．解题时涉及双曲线的焦点弦、焦半径的问题，常从两个定义入手解题．【知识拓展】1．双曲线的焦半径公式设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若P(x0，y0)是双曲线上一点．若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a，若P在左支上，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a.2．双曲线中的基本三角形①如图所示，△AOB中|OA|＝a，|OB|＝c，|AB|＝b，tan∠AOB＝，e＝②焦点三角形△F1PF2中，若∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝b2cot.1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做，两个定点F1，F2叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的.双曲线焦点焦距2．双曲线的简单几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．顶点双曲线的对称轴与双曲线的交点叫做双曲线的.离心率e＝(e>1)渐近线y＝y＝等轴双曲线实轴和虚轴的双曲线叫做等轴双曲线准线方程x＝y＝顶点等长探究：双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线方程为________________．解析：由题知c＝4，且＝2，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12，∴双曲线方程为－＝1.答案：－＝1且PF1∶PF2＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________．解析：本题考查双曲线的方程及定义等知识．由题意，a＝3，b＝4，∴c＝5，根据题意，点P在靠近焦点F1的那支上，且PF2＝3PF1，所以由双曲线的定义，PF2－PF1＝2PF1＝2a＝6，∴PF1＝3，PF2＝9，故△F1PF2的周长等于3＋9＋10＝22.答案：222．设点P在双曲线－＝1上，若F1、F2为此双曲线的两个焦点，3．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为________．解析： 双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴＝或＝.当＝时，＝，∴e＝＝；当＝时，＝，∴e＝＝.答案：4．若双曲线＝1的渐近线方程为y＝，则双曲线的焦点坐标是________．解析：由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝，∴m＝3，求得双曲线方程为：＝1，从而得到焦点坐标为(－，0)，(，0)．答案：(－，0)，(，0)5．双曲线的焦距是两准线间距离的4倍，则此双曲线的离心率等于________．解析： 2c＝4×，∴c2＝4a2.∴e2＝＝4，e＝2.答案：2【例1】在△MNG中，已知NG＝4.当动点M满足条件sinG－sinN＝sinM时，求动点M的轨迹方程．求双曲线的标准方程要确定焦点所在的坐标轴以及a2和b2的值，其常用的方法是待定系数法．思路点拨：建立适当的直角坐标系，利用正弦定理把sinG－sinN＝sinM转化成边长之间的关系，并由此关系确定轨迹方程．解：以NG所在的直线为x轴，以线段NG的垂直平分线为y轴建...
