易错警示与规范解题第1讲找准高考易失分点面对高考，我们的最大愿望，就是多得分，少丢分，尽可能地提高高考分数．同学们一定会问，有没有办法多得分，少失分？我想多得分，少丢分一定有办法！其中最重要的方法就是——找准失分点．下面和同学们一起，按知识专题顺序，根据高考中常见错误分类，来找失分点，探讨失分原因，杜绝失分现象．集合、函数与导数、不等式失分点1忽视空集致误例1已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A.求实数m的取值范围．错解 x2－3x－10≤0，∴－2≤x≤5，∴A＝{x|－2≤x≤5}．由A∪B＝A知B⊆A，∴－2≤m＋12m－1≤5，即－3≤m≤3，∴m的取值范围是－3≤m≤3.找准失分点B⊆A，B可以为非空集合，B也可以是空集．漏掉对B＝∅的讨论，是本题的一个失分点．失分原因与防范措施造成本题失分的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质.当题目中出现AB，A∩B=A，A∪B=B时，注意对A进行分类讨论，即分为A=和A≠两种情况讨论.正解 A∪B＝A，∴B⊆A. A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}．①若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，故m<2时，A∪B＝A；②若B≠∅，如图所示，则m＋1≤2m－1，即m≥2.由B⊆A得－2≤m＋1，2m－1≤5.解得－3≤m≤3.又 m≥2，∴2≤m≤3.由①②知，当m≤3时，A∪B＝A.变式训练1设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解 A＝{0，－4}，∴B⊆A分以下三种情况：(1)当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)>0，－2(a＋1)＝－4，a2－1＝0，解得a＝1；(2)当∅≠BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；(3)当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.失分点2忽视集合的三特性致误例2设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，若A∩B＝{9}，则实数a＝________.错解3或－3找准失分点忽视了集合中元素的互异性．失分原因与防范措施在求出a的值后，没有验证集合中的元素是否符合要求，是否具有集合元素的特征是导致本题失分的根本原因.在解决集合中的含参数问题时，一定要考虑全面，注意用元素的互异性检验所求的参数值.正解由A∩B＝{9}，知9∈A.①当2a－1＝9时，a＝5，检验不符合要求，舍去；②当a2＝9时，a＝3或a＝－3，检验a＝3不符合要求．故a＝－3.变式训练2设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2}，问是否存在这样的实数a，使得A∪B＝{1，a，a2}与A∩B＝{1，a}同时成立？若存在，求出实数a；若不存在，请说明理由．解假设这样的实数a存在，由A∩B＝{1，a}，知a2＝a，∴a＝0或a＝1.当a＝0时，A∪B不可能为{1，a，a2}，故a＝0不合题意；当a＝1时，B＝{1，a2}中，a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，故a＝1也不合题意．综上可知，满足题设条件的实数a不存在．失分点3对命题的否定不当致误例3已知M是不等式ax＋10ax－25≤0的解集且5∈M，则a的取值范围是________．错解(－∞，－2)∪(5，＋∞)找准失分点5∈M，把x＝5代入不等式，原不等式不成立，有两种情况：①5a＋105a－25>0；②5a－25＝0，答案中漏掉了第②种情况．失分原因与防范措施本题失分率高达56%，实质上当x=5时，不成立，即是对命题的否定.失分的原因就在于对命题的否定不当.对于这类形式的命题的否定，一定要注意其否定为或ax-25=0.当然，就本题而言，也可以先求出5∈M时的a的范围，再求其补集.02510axax02510axax02510axax正解方法一 5∈M，∴5a＋105a－25>0或5a－25＝0，∴a<－2或a>5或a＝5，故填a≥5或a<－2.方法二若5∈M，则5a＋105a－25≤0，∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，∴－2≤a<5，∴5∈M时，a<－2或a≥5.故填a<－2或a≥5.变式训练3已知集合M＝{x|a2x＋2a－12ax－1<0}，若2∈M，则实数a的取值范围是_______________．解析若2∈M，则2a2＋2a－122a－1<0，即(2a－1)(a2＋a－6)<0，∴(2a－1)(a－2)(a＋3)<0，∴a<－3或12
