高考数学一轮复习 6.3 等比数列精品课件 理 新人教A版 课件VIP免费

6.36.3等比数列等比数列1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从起，每一项与它的的比等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母表示.其数学表达式为：（q为常数）或（q为常数）（n≥2）,常用定义判断或证明一个数列是等比数列.第2项前一项同一公比q(q≠0)qaan1n=+qaa-1nn=2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项公式an=.通项公式的变形为an=amqn-m，也可写为qn-m=常用此求通项公式中的公比q.当公比q≠1时an=可以看成函数y=c·qx，是一个不为零的常数与指数函数的乘积.因此，数列{an}各项所对应的点都在y=cqx图象上.3.等比中项如果三个数x，G，y组成，则G叫做x和y的等比中项，那么，即G2=.mnaan1·qqaGyxG=x·ya1·qn-1等比数列4.等比数列的单调性等比数列{an}中，公比为q，则当a1＞0,q＞1,或a1＜0，0＜q＜1时，数列{an}为；当a1＞0,0＜q＜1,或a1＜0，q＞1时，数列{an}为；当q=1时，数列{an}为；当q＜0时，数列{an}为.5.等比数列的前n项和公式如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q，①当q=1时，Sn=；②当q≠1时，Sn==.其推导方法为.递增数列递减数列常数列摆动数列n·a1q-1qa-an1q-1)q-(1an1错位相减法6.等比数列的性质若数列{an}为等比数列，m，n，p，qN*,∈且m+n=p+q，则am·an=.{an}是等比数列，则{λan},{|an|}成数列,公比分别是；按顺序抽出间隔相同的项组成的新数列.{an}成等比数列，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，公比为.qmap·aq等比q和|q|成等比数列成等比数列考点一等比数列的证明考点一等比数列的证明【分析】【分析】首先证明该数列为等比数列，得出公式，再求出首项便可写出通项公式.数列｛an｝的前n项和为Ｓｎ，Ｓｎ＝（ａｎ－１）（ｎ∈Ｎ*）（１）求ａ１，ａ２；（２）证明：数列｛ａｎ｝是等比数列.31【解析】【解析】（１）由Ｓ１＝（ａ１－１），得ａ１＝（ａ１－１），∴ａ１＝－又Ｓ２＝（ａ２－１），即ａ１＋ａ２＝（ａ２－１），得ａ２＝（２）证明：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)，得.∴｛ａｎ｝是首项为－，公比为－的等比数列.∴313121313141313121aa-1nn2121n)21-(an=【评析】【评析】若用为常数证明等比数列，不要忘记单独验证n=1时的情况.（2）要想到利用等比数列的通项公式，需先证明该数列是等比数列.n1naa+＊对应演练＊＊对应演练＊（苏州11届高三调研考）在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,nN*.∈(1)证明:数列{an-n}是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn;(3)证明:不等式Sn+1≤4Sn,对任意nN*∈皆成立.(1)由题设an+1=4an-3n+1,得an+1-(n+1)=4(an-n),nN∈*.又a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为1,且公比为4的等比数列.(2)由(1)可知an-n=4n-1,于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n.所以数列{an}的前n项和Sn=.21)n(n31-4n++(3)对任意的nN*,∈Sn+1-4Sn=-4〔〕=-(3n2+n-4)≤0.所以不等式Sn+1≤4Sn,对任意nN*∈皆成立.22)1)(n(n31-41n++++22)1)(n(n31-4n+++21考点二等比数列基本量的计算在等比数列{an}中，已知a6-a4=24,a3·a5=64,求{an}前8项的和S8.【分析】【分析】利用已知的两个等式条件，可得a1和q的两个方程，解之可得数列{an}，从而S8便可求得.【解析】【解析】解法一：设数列{an}的公比为q，依题意a6-a4=a1q3(q2-1)=24①a3·a5=(a1q3)2=64,∴a1q3=±8.将a1q3=-8代入①式，得q2-1=-3,q2=-2，舍去.将a1q3=8代入①式，得q2-1=3,q=±2.当q=2时,a1=1，S8==255；当q=-2时,a1=-1,S8==85.1-q1)-(qa811-q1)-(qa81{解法二解法二： {an}是等比数列，∴依题设得,∴a4=±8,a6=24+a4=24±8, {an}是实数列，∴,故舍去a4=-8,得a4=8,a6=32.从而a5==±16,公比q的值为q==±2.当q=2时，a1=a4·q-3=1,a9=a6·q3=256,∴;当q=-2时，a1=a4·q-3=-1,a9=a6·q3=-256,.∴64·aaa5324==0aa46·aa6445aa255q-1a-aS9185q-1a-aS9188【评析】【评析】(1)等比数列{an}中,an=a1qn-1,Sn=中有五个量,可以知三求二.(2)注意分类讨论的应用.q-1)q-(1an1＊对应演练＊＊对应演练＊设等比数列{an}的公比q<1,前n项和为Sn,已知a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.由题设知a1≠0,Sn=,则a1q2=2①，②由②,得1-q4=...