[原创]2011届高考数学考点专项复习课件40导数的应用2一、复习目标了解可导函数的单调性与其导数的关系.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号),会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.二、重点解析对于可导函数f(x),先求出f(x),利用f(x)>0(或<0)求出函数f(x)的单调区间;利用f(x)=0,求出f(x)的极值点,把极值点对应的函数值与区间端点所对应的函数值进行比较,求出最值.如果函数在区间内只有一个点使f(x)=0,此时函数在这点有极大(小)值,那么不与端点比较,也可以知道这就是最大(小)值.如果应用导数解决实际问题,最关键的是要建立恰当的数学模型(函数关系),然后再运用上述方法研究单调性及极(最)值.1.函数的单调性三、知识要点(1)(函数单调性的充分条件)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f(x)>0,则y=f(x)为增函数,如果f(x)<0,则y=f(x)为减函数,(2)(函数单调性的必要条件)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f(x)在该区间单调递增(或减),则在该区间内f(x)≥0(或f(x)≤0).注当f(x)在某个区间内个别点处为零,在其余点处均为正(或负)时,f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例f(x)=x3在(-1,1)内,f(0)=0,f(x)>0(x0).显然f(x)=x3在(-1,1)上仍旧是增函数.极大值与极小值统称为极值.是函数f(x)的一个极小值,记作:y极小值=f(x0),如果对x0附近的所有点,都有f(x)>f(x0),就说f(x0)2.函数极值的定义设函数f(x)在点x0及其附近有定义,如果对x0附近的所有点,都有f(x)
0,右侧f(x)<0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0,那么f(x0)是极小值.一般地,当函数f(x)在点x0处连续时4.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域;(3)求方程f(x)=0的根;5.函数的最大值与最小值在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值,例如f(x)=x,x(-1,1).6.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)求导数f(x);(4)检查f(x)在方程f(x)=0的根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.典型例题1已知aR,求函数f(x)=x2eax的单调区间.解:函数f(x)的导数f(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax.(1)当a=0时,由f(x)<0得x<0;由f(x)>0得x>0.∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞),(2)当a>0时,由f(x)<0得-0得x<-或x>0.∴f(x)的单调递减区间为(-,0);2af(x)的单调递增区间为(-∞,-)和(0,+∞).2a(3)当a<0时,由f(x)<0得x<0或x>-;2a由f(x)>0得00;当x>0时,f(x)<0.又f(0)=0,故当且仅当x=0时,f(x)取得最大值,最大值为0.(2)由题设g(x)=lnx+1.设F(x)=g(a)+g(x)-2g(),a+x2已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的最大值;(2)设0a时,F(x)>0,F(x)在(...
