高中数学第一轮总复习 第34讲简单递推数列(理科)课件新人教A版 课件VIP专享VIP免费

新课标高中一轮新课标高中一轮总复习总复习新课标高中一轮新课标高中一轮总复习总复习理数理数•第五单元第五单元•数列、推理与证明数列、推理与证明第第3434讲讲简单递推数列简单递推数列1.了解递推公式也是给出数列的一种方法，并能根据递推公式求出满足条件的项.2.掌握简单递推数列的通项公式的求法.3.熟悉递推公式模型，灵活应用求解通项及前n项和.1.已知数列｛an｝满足a1=1,an-an-1=(n≥2),则an=.11nn1n-+12an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(-)+(-)+…+(-)+1=-+1.1nnn1n321n22.已知a1=1,an=·an+1,则an=.1nn1n由=得，=,=,…,=.以上各式累乘得an=×·…·=.1nn1nnaa21aa1232aa231nnaa1nn12231nn1n3.数列{an}中,a1=1，对所有的n≥2都有a1a2a3…an=n2,则a3+a5=.6116因为a1a2a3=32,a1a2=22,所以a3=.因为a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,所以a5=,所以a3+a5=+=.9425162516361661164.(2010·长郡中学)已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+an=2n-1,则a12+a22+a32+…+an2等于()CA.(2n-1)2B.(2n-1)C.(4n-1)D.4n-11313易知a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1，a1也适合，故{an}是以2为公比的等比数列，则{an2}是以1为首项，以4为公比的等比数列，故S==(4n-1).131(14)14n5.已知a1=3,f(x)=x2,且an+1=f(an),则an=.32n-1由a1=3,a2=a12=32,a3=a22=34,知an=32n-1.常见递推数列的通项公式的求法(1)若an-an-1=f(n),求an可用①法.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1(n≥2).(2)若=f(n),求an可用②法.an=··…··a1(n≥2).(3)已知a1·a2·…·an=f(n),求an,用③法f(1)(n=1)(n≥2).迭加1nnaa累乘1nnaa12nnaa21aaan=作商()(1)fnfn(4)若an+1=f(an),求an可用④法.(5)若an+1=kan+b,则可化成(an+1+x)=k(an+x),从而{an+x}是⑤数列，其中x可以由⑥求出.(6)若an=kan-1+bn(k,b为常数)，可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列，再求an.(7)若数列{an}满足a1=a,a2=b,an+2=pan+1+qan,则可化为(an+2-xan+1)=y(an+1-xan),其中x,y可用待定系数法求得,从而{an+1-xan}构成⑦数列.迭代等比待定系数法等比(8)若an+1·an+pan+qan+1=0,可化成1++=0,令=bn，从而上式变成bn+1=k·bn+b型.(9)已知Sn的递推关系，先求出Sn，再求an，用作差法：S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2).1npanpa1naan=题型一题型一叠加、叠乘法叠加、叠乘法典例精讲典例精讲例1(1)在数列{an}中，a1=1，an+1=an+3n2,求数列{an}的通项公式；(2)已知数列{an}满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，求数列{an}的通项公式an.(1)由题意，an+1=an+3n2，a1=1，所以a2=a1+3×12,a3=a2+3×22,a4=a3+3×32,…,an-1=an-2+3(n-2)2,an=an-1+3×(n-1)2，逐项相加，得an=a1+3[12+22+…+(n-1)2]=1+3×=1+.(1)(22)6nnn(1)(22)2nnn(2)当n≥2时,有an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1,①an+1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1+nan,②由②-,①得an+1-an=nan,即an+1=(n+1)an,所以an=××…××a2=n(n-1)·…·a2.由于a2=a1=1，a3=a1+2a2=3，则当n≥2时,an=n(n-1)(n-2)…a2=n(n-1)(n-2)×…×3,1(n=1)n(n-1)(n-2)×…×3(n≥2).1nnaa12nnaa32aa所以an=点评点评对an+1-an=f(n)型和=g(n)型可以采用叠加或叠乘，只要叠加或叠乘后右边可以化简即可，同时要注意自变量n的取值范围.1nnaa变式变式变式已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2).(1)求a2,a3;(2)证明：an=.312n(1)因为a1=1,所以a2=3+1=4,a3=32+4=13.(2)证明：由已知an-an-1=3n-1(n≥2),故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+3+1=.n=1也适合上式.所以证得an=.312n312n题型二题型二直接转化为等差、等比数列型直接转化为等差、等比数列型例2已知数列{an},｛bn｝满足a1=2,b1=1,且an=an-1+bn-1+1bn=an-1+bn-1+1(n≥2).(1)令cn=an+bn,求数列{cn}的通项公式；(2)求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn.34141434(1)由题设得an+bn=(an-1+bn-1)+2(n≥2),即cn=cn-1+2(n≥2).易知{cn}是首项为a1+b1=3,公差为2的等差数列,所以通项公式为cn=2n+1(nN*).∈(2)由题设得,an-bn=(an-1-bn-1)(n≥2).令dn=an-bn,则dn=dn-1(n≥2).易知{dn}是首项为a1-b1=1,公比为的等比数列，通...