高考数学 3.1 变化率与导数、导数的计算复习课件VIP免费

第三章导数及其应用§3.1变化率与导数、导数的计算基础知识自主学习要点梳理1．平均变化率函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.f(x2)－f(x1)x2－x12．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点处的.相应地，切线方程为.f(x0＋Δx)－f(x0)Δx可导f′(x0)(x0，f(x0))切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)3．函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝____f′(x)＝_____f(x)＝sinxf′(x)＝______f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝____f(x)＝logaxf′(x)＝________________f(x)＝lnxf′(x)＝_____0cosx－sinxaxlna(a>0),且a≠1)ex1xlna(a>0，且a≠1)1x()()fxx为常数1x5.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)f(x)g(x)′＝(g(x)≠0)．6．复合函数的导数若y＝f(u)，u＝ax＋b，则yx′＝yu′·ux′，即yx′＝yu′·a.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g2(x)[难点正本疑点清源]1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数；(2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x).在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点.点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．基础自测1．已知函数f(x)＝13－8x＋2x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为________.解析f′(x)＝－8＋22x，f′(x0)＝－8＋22x0＝4，∴x0＝32.322.已知f（x）=x+2sinx，则f′(0)=.3解析f′(x)=1+2cosx,∴f′(0)=3.3.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)=.－2解析由题意知f′(x)=4ax3+2bx，可知f′(x)为奇函数，若f′(1)=2,即f′(1)=4a+2b=2,故f′(-1)=-f′(1)=-4a-2b=-2.点评到f（x）的导函数是一个奇函数.f′(-1)=-f′(1).4.已知函数f(x)=f′（π2）sinx+cosx,则f(π4)=.05.已知函数y=f(x)及其导函数y=f′(x)的图象如图所示，则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是.x-y-2=0题型分类深度剖析题型一利用导数的定义求函数的导数例1求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．解 Δy＝x0＋Δx2＋1－x20＋1＝（x0＋Δx）2＋1－x20－1（x0＋Δx）2＋1＋x20＋1＝2x0Δx＋（Δx）2（x0＋Δx）2＋1＋x20＋1，∴ΔyΔx＝2x0＋Δx（x0＋Δx）2＋1＋x20＋1思维启迪：紧扣定义ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx进行计算．探究提高求函数f(x)平均变化率的步骤：①求函数值的增量Δf＝f(x2)－f(x1)；②计算平均变化率ΔfΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1.解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了．变式训练1过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率，并求曲线在点P处切线的斜率．解 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝3Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，∴割线PQ的斜率为ΔyΔx＝3Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3Δx＝3＋3Δx＋(Δx)2.∴当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率为ΔyΔx＝3＋3×0.1＋(0.1)2＝3.31，曲线在点P(1,1)处切线的斜率为当Δx→0时，ΔyΔx＝3＋3Δx＋(Δx)2→3.题型二导数的运算例2求下列函数的导数...