第4讲函数的单调性与最值1．函数的单调性定义f(x1)0单调增区间f(x1)>f(x2)f′(x)<03．函数的最大(小)值设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A，有___________恒成立，那么称f(x0)为y＝f(x)的_________；如果存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A，有___________恒成立，那么称f(x0)为y＝f(x)的_________．最大值最小值f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)1．函数y＝x2－6x的减区间是()DA.(－∞，2]C．[3，＋∞)B．[2，＋∞)D．(－∞，3]2．函数y＝(2k＋1)x＋b在实数集上是增函数，则()A．k>－12B．k<－12AC．b>0D．b>03．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x－1)的值域为()A．[a－1，b－1]B．[a，b]C．[a＋1，b＋1]D．无法确定解析：函数y＝f(x－1)的图像可以视为函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位而得到，所以，它们的值域是一样的．B4．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是_____.5．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________________________.32，4考点1判断函数的单调性例1：已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．－＜a＜－1或1＜a＜解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数；当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)设x2>x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2>x1≥2得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)<0，即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.另解(导数法)：f′(x)＝2x－ax2，要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－ax2≥0，则a≤2x3恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．2xx－1在区1．试用函数单调性的定义判断函数f(x)＝间(0,1)上的单调性．【互动探究】解：任取x1、x2∈(0,1)，且x10，故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).所以，函数f(x)＝2xx－1在(0,1)上是减函数.考点2函数的最值与值域例2：求下列函数的值域：(1)y＝3x＋2x－2；(2)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；(3)y＝x2－xx2－x＋1；(4)y＝x＋4x.解题思路：关于x的一次分式函数，这种题目可通过求关于x的方程在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变形(分离常量)，观察得出结果；有理分式函数，去分母化成关于x的二次方程，用判别式可求值域，来求值域；可用换元法将无理函数化为有理函数或将已知等式化成关于x的二次方程，用判别式求函数的值域．也可把函数解析式化成A＋Bx2－x＋1(A、B是常数)的形式解析：(1)方法一：y＝3x＋2x－2＝3x－6＋8x－2＝3＋8x－2，由于8x－2≠0，∴y≠3.∴函数y＝3x＋2x－2的值域是{y|y∈R且y≠3}．方法二：由y＝3x＋2x－2，得x＝2y＋1y－3，∴y≠3.(2) y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]，∴其图像是开口向下，顶点为(－1,4)，在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．∴当x＝－5时，ymin＝－12；当x＝－2时，ymax＝3.∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．(3)方法一：y＝x2－xx2－x＋1＝1－1x2－x＋1. x2－x＋1＝x－122＋34，∴－13≤1－1x2－x＋1<1，即－13≤y<1，故值域为－13，1.方法二：去分母，整理得(y－1)x2－(y－1)x＋y＝0.易知y≠1，故上式可看作是关于x的二次方程，...
