第八节正、余弦定理的应用举例基础梳理实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线____________叫仰角，目标视线在水平视线________叫俯角(如图①)．(2)方位角指从________方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a(如图②)．(3)坡角：坡面与水平面所成的角．上方时下方时正北基础达标1.(教材改编题)在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC=()A.10°B.50°C.120°D.130°D解析：如图，由已知∠BAD=60°，∠CAD=70°，∴∠BAC=60°+70°=130°.2.若P在Q的北偏东44°，则Q在P的()A.东偏北46°B.东偏北44°C.南偏西44°D.西偏南44°C解析：如图，依题意知∠AQP=44°，则点Q在P点的南偏西44°.3.(教材改编题)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A.1B.2sin10°C.2cos10°D.cos20°C解析：∵∠ABC=20°，AB=1，∠ADC=10°，∴∠ABD=160°.在△ABD中，由正弦定理=，∴AD=AB·==2cos10°.160ADsin10ABsin16010sinsin2010sinsin4.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=________m.156解析：由已知可得∠DBC=135°，在△DBC中，由正弦定理可得=，BC===15，∴AB=BCtan60°=15×=15.30BCsin135CDsin30135CDsinsin3030135sinsin2236经典例题分析：如图所示，由条件可知△ACD是等腰直角三角形，故只要求出AC即可，在△ABC中，AB可知，∠CAB，∠CBA都可知，利用正弦定理可求出AC.【例1】一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30nmile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A、D两处的距离．解：如图所示，在△ABC中，∠CAB=45°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠ACB=180°-45°-120°=15°，AB=30´0.5=15(nmile)．则由正弦定理，得=，即=.又∵sin15°=，sin120°=，∴AC==×15(nmile)．在△ACD中，∵∠A=∠D=45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD=AC=15(3+)(nmile)，∴A、D两处的距离为15(3+)nmile.ACsinABCABsinACB120ACsin1515sin624321512015sinsin3262233题型二高度问题【例2】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．分析：依题意画出示意图形如图，在△BDC中，可用正弦定理求BD的长，要使仰角∠AEB最大，即使tan∠AEB最大．由于AB是塔高，是定值，故只要BE最小就可以了，显然BE⊥DC时BE为最小，即BE长可求出．然后在Rt△ABE中求出塔高AB的长．解：如图所示，在△BDC中，CD=40m，∠BCD=90°-60°=30°，∠DBC=180°-45°=135°.由正弦定理，得=，∴BD===20(m)．在Rt△ABE中，tan∠AEB=，AB为定值，若要使仰角∠AEB最大，则BE要最小，即BE⊥CD，这时∠AEB=30°.在Rt△BED中，∠BDE=180°-135°-30°=15°，∴BE=BDsin∠BDE=20sin15°=10(-1)(m)．在Rt△ABE中，AB=BEtan∠AEB=10(-1)tan30°=(3-)(m)，∴塔的高度为(3-)m.CDsinDBCBDsinBCDCDsinBCDsinDBC4030135sinsin2ABBE23310331033题型三角度问题【例3】甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距10海里，乙船向正北行驶，若甲船速度是乙船的倍，问：甲船应向什么方向行驶才能追上乙船？3解：如图，设乙船行驶了x海里，则甲船行驶了x海里，两船在C处相遇．在△ABC中，∠ABC=120°，AB=10，BC=x，AC=x.由余弦定理可知(x)2=100+x2-20xcos120°，即x2-5x-50=0，∴x=10或x=-5(舍去)，∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形，所以∠BAC=30°.故甲船应向北偏东30°方向前进才能追上乙船．333
