第28讲平面向量的基本定理和向量的坐标运算【学习目标】1．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件．【基础检测】1．若α，β是一组基底，向量γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1，2)下的坐标为()A．(2，0)B．(0，－2)C．(－2，0)D．(0，2)D【解析】由已知a＝－2p＋2q＝(－2，2)＋(4，2)＝(2，4)，设a＝λm＋μn＝λ(－1，1)＋μ(1，2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)，则由－λ＋μ＝2λ＋2μ＝4⇒λ＝0μ＝2，∴a＝0m＋2n，∴a在基底m，n下的坐标为(0，2)．2．已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c等于()A．－12a＋32bB.12a－32bC．－32a－12bD．－32a＋12bB【解析】设c＝λa＋μb，∴(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)．∴－1＝λ＋μ，2＝λ－μ.∴λ＝12，μ＝－32.∴c＝12a－32b.【解析】a∥b⇒1－2＝2m⇒m＝－4，所以2a＋3b＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．3．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于()A．(－5，－10)B．(－4，－8)C．(－3，－6)D．(－2，－4)B4．已知向量a＝(x，－2)，b＝(y，1)，其中x，y都是正实数，若a⊥b，则t＝x＋2y的最小值是________．【解析】由a⊥b，得xy－2＝0，即xy＝2，所以t＝x＋2y＝x＋2×2x＝x＋4x≥2x×4x＝4(当且仅当x＝2取等号)，所以t＝x＋2y的最小值为4.4【知识要点】1．平面向量基本定理如果e1和e2是一个平面内的两个___________向量，那么对于该平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.这样，平面内的任一向量a都可由x，y惟一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，把a＝(x，y)叫做向量的坐标表示，|a|＝x2＋y2叫做向量a的长度(模)．不共线一、向量的坐标表示及其运算例1已知O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，OM→＝t1OA→＋t2AB→.(1)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；(2)若t1＝a2，求当OM→⊥AB→且△ABM的面积为12时a的值．【解析】由条件知OM→＝t1OA→＋t2AB→＝t2(0，2)＋t2(4，4)＝(4t22t1＋4t2)．(1)证明：当t1＝1时，OM→＝(4t2，4t2＋2)． AB→＝OB→－OA→＝(4，4)，AM→＝OM→－OA→＝(4t2，4t2)＝t2AB→∴A、B、M三点共线．(2)当t1＝a2时，OM→＝(4t2，4t2＋2a2)．又AB→＝(4，4)，OM→⊥AB→.∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，∴t2＝－14a2故OM→＝(－a2，a2)，又|AB→|＝42，点M到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－a2－a2＋2|2＝2|a2－1| S△ABM＝12，∴12|AB→|·d＝12×42×2|a2－1|＝12，解得a＝±2，故所求a的值为±2.二、向量平行和垂直的条件及应用例2已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．(1)求|a＋3b|；(2)k为何值时，向量ka－b与a＋3b垂直？(3)当k为何实数时，向量ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？【解析】(1)因为a＝(1，0)，b＝(2，1)．所以a＋3b＝(7，3)则|a＋3b|＝72＋32＝58.(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7，3)．若(ka－b)⊥(a＋3b)，则7(k－2)－3＝0，解得k＝177.(3)因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即得k＝－13.此时ka－b＝(k－2，－1)＝－73，－1，a＋3b＝(7，3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．【点评】1.求a＋3b的坐标是求|a＋3b|的切入点．2．从求ka－b与a＋3b的坐标切入，进而由向量垂直、平行的充要条件得出关于k的方程，解方程求出k.三、向量基本定理及应用例3如图，在△ABC中，AQ→＝12AC→，AR→＝13AB→，BQ与CR交于点O，AO的延长线与边BC交于点P.(1)用AB→和AC→表示BQ→，CR→；(2)如果AB...
