第七节解三角形应用举例重点难点重点：培养学生的应用意识和实践能力．难点：将实际问题数学化(2)一般步骤：①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理或余弦定理解出三角形，求得数学模型的解；④检验：检验上述所求的结果是否具有实际意义，从而得出实际问题的解．2．实际问题中的有关术语、名称(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线方的角叫仰角，在水平线方的角叫俯角(如图①)．上下(2)方向角①正南方向、正北方向、正东方向和正西方向．②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图②)．③北α东，即北偏东α：自正北方向按顺时针方向旋转到经过目标的射线转过的角为α(0<α<π2)．(如图③)．(3)方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角，如B点的方位角为α(如图⑤)3．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．误区警示1．方位角与方向角要区分，方位角是由正北方向顺时针旋转到目标方向线的最小正角．方向角是东、西、南、北、东南、西北、北偏东30°、南偏西45°等．2．如何将实际问题中的角、长度归结到三角形中，及解后考虑实际问题的实际意义．一、解三角形应用题常见的几种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其它三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．二、根据实际问题构造三角形[例1]在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的辑私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问辑私船沿什么方向能最快追上走私船？解析：如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.设辑私船用th在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中， AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6∴BC＝6， cos∠CBA＝BC2＋AB2－AC22BC·AB＝6＋3－12－426·3－1＝22，∴∠CBA＝45°，即B在C正东． ∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即辑私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．点评：本例关键是首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．[例1](2011·东北三校二模)港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？测量距离的问题分析：边读题，边画图形，如图，将条件中的角、长度标上，求轮船离港口A还有多远，即求AD的长，在△ACD中，已知一角(A)一边(CD)，待求AD，结合已知条件△BCD三边长已知，由余弦定理可求三角，考虑沟通已知和未知，可利用∠ADC与∠BDC互补，求∠BDC.解析：在△BDC中，由余弦定理知，cos∠CDB＝BD2＋CD2－BC22BD·CD＝－17，∴sin∠CDB＝437.∴sin∠ACD＝sin(∠CDB－π3)＝sin∠CDBcosπ3－cos∠CDBsinπ3＝5314.在△ACD中，由正弦定理知ADsin∠ACD＝CDsinA⇒AD＝5314×21÷32＝15.∴此时轮船距港口还有15海里．(文)(2011·济南一中模拟)如图所示，路边一树干被台风吹断，树干顶部与地面成45°角，树干底部与地面成75°角，树干...
