了解导数概念的实际背景/理解导数的几何意义/能根据导数定义，求函数的导数/能利用常见基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数/能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数2.10变化率与导数导数的计算1．导数的定义我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(derivative)记作f′(x0)或y′|x＝x0，即2．导数的几何意义当点沿着曲线向点P接近时,割线趋近于确定的位置,这个确定的位置的直线PT称为P点处的切线(tangentline).当点无限趋于点P时,割线的斜率无限趋近于切线PT的斜率k因此函数y＝f(x)在点x0的导数就是切线PT的斜率k,当趋向于0时,割线的斜率的极限为切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式(1)c′＝0；(2)(xn)′＝nxn－1；(3)(sinx)′＝cosx；(4)(cosx)′＝－sinx；(5)(lnx)′＝；(6)(logax)′＝logae；(7)(ex)′＝ex；(8)(ax)′＝axlna.4．求导法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[cf(x)]′＝cf′(x)；(4)5．复合函数求导法则函数u＝φ(x)在点x处有导数u′x＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′u＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，y′x＝y′u·u′x或f′x(φ(x))＝f′(u)φ′(x)．1．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：f(x)为奇函数，则f′(x)为偶函数；g(x)为偶函数，则g′(x)为奇函数．当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.答案：B2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3D．y＝4x－5解析：本小题主要考查导数与切线斜率的关系．由y′＝3x2－6x在点(1，－1)的值为－3，故切线方程为y＋1＝－3(x－1)．答案：B3．曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是__________．解析：曲线y＝和y＝x2的交点为A(1,1)，在A点处曲线y＝的斜率.切线l1：y＝－1×(x－1)＋1.在A点处曲线y＝x2的斜率y′|x＝1＝2x|x＝1＝2，切线l2：y＝2(x－1)＋1.l1与x轴的交点B(2,0)，l2与x轴的交点C(，0)．故.答案：4．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________________________.②②式可用语言叙述为________________________________．解析：因为半径为R的球的表面积为S(R)＝4πR2，体积V(R)＝πR3，显然V′(R)＝S(R)，故第一个空填为(πR3)′＝4πR2.从而②式用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数．答案：(πR3)′＝4πR2球的体积函数的导数等于球的表面积函数(1).函数在x＝x0处的导数是用函数极限定义的可利用导数的定义判断函数在x＝x0处的极限是否存在．导数与连续的关系是：可导必连续，连续但不一定可导．(2)．函数的导数与在点x0处的导数不是同一概念；在点x0处的导数是函数的导数在x＝x0处的函数值．【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处切线与曲线f(x)＝x3的交点．解答：曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线方程为y－x＝3x·(x－x0)，即得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0.若x0≠0，则交点坐标为(x0，)，(－2x0，－)；若x0＝0，则交点坐标为(0,0).若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则函数y＝f(x)的图象在x＝x0处是平滑的，f′(x0)是函数图象在(x0，f(x0))点切线的斜率．【例2】已知曲线方程为y＝x2，(1)求在点A(2,4)与曲线相切的直线方程；(2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程．解答：(1) 由y＝x2得y′＝2x，∴y′|x＝2＝4，因此所求直线的方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)解法一：设过B(3,5)与曲线y＝x2相切的直线方程为y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k，由得：x2－kx＋3k－5＝0，Δ＝k2－4(3k－5)＝0.整理得：(k－2)(k－10)＝0，∴k...
