高考数学第一轮复习考纲(数学归纳法)课件21三 理 课件VIP免费

第3讲数学归纳法1．运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是_________________，第二步是___________________，两步缺一不可．2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括____________________________________________________．归纳奠基(或递推基础)归纳递推(或归纳假设)恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()CA．n＝1时成立C．n＝3时成立B．n＝2时成立D．n＝4时成立解析：多边形至少有三边．A2．用数学归纳法证明：1＋12＋13…＋12n－11)时，在第二步证明从n＝k到n＝k＋1成立时，左边增加的项数是()A．2kB．2k－1C．2k－1D．2k＋1解析：项数是(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k.3.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形有对角线数f(n＋1)为()CA．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2解析：在n个顶点的基础上增加一个顶点则增加n－1条对角线．4．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝14n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，a、b的值应该等于()A．a＝1，b＝3C．a＝1，b＝2B．a＝－1，b＝1D．a＝2，b＝3答案：D解析：令n＝1,2，得到关于a、b的方程组，解得即可．解析：a1＝13且Sn＝n(2n－1)an得，a2＝115，a3＝135，a4＝163，由1×3,3×5,5×7,7×9，…可得an＝12n－12n＋1.14n2－14．在数列{an}，a1＝13且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2、a3、a4，猜想an的表达式，其结果是_______.5考点1对数学归纳法的两个步骤的认识例1：已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n＝k(k≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明()A．n＝k＋1时命题成立C．n＝2k＋2时命题成立B．n＝k＋2时命题成立D．n＝2(k＋2)时命题成立解题思路：从数学归纳法的两个步骤切入，k的下一个偶数是k＋2.解析：因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k＋2.故选B.用数学归纳法证明时，要注意观察下列几个方面：(1)n的范围以及递推的起点；(2)观察首末两项的次数(或其他)，确定n＝k时命题的形式f(k)；(3)从f(k＋1)和f(k)的差异，寻找由k到k＋1递推中，左边要加(乘)上的式子．n＋n24【互动探究】B(2)用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋>113的过程中，由k推导到k＋1时，不等式左边增加的式子是_______________.12k＋12k＋21．(1)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＝1－an＋11－a(a≠1，n∈N*)时，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a4＋k＋1k＋1－，即2k＋2k＋12k＋12k＋2解析：求f(k＋1)－f(k)即可．当n＝k时，左边＝11k＋1k＋2＋…＋1k＋k.n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋1.故左边增加的式子是12k＋1＋111.考点2用数学归纳法证明恒等式命题例2：是否存在常数a、b、c，使等式1·22＋2·32＋…＋n(nn都成立？证明你的＋1)2＝nn＋1(an2＋bn＋c)对一切正整数12结论．解题思路：从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n＝1,2,3，列方程组求得，然后用数学归纳法对一切n∈N*，等式都成立．解析：把n＝1,2,3代入得方程组a＋b＋c＝244a＋2b＋c＝449a＋3b＋c＝70，解得a＝3b＝11c＝10，猜想：等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝nn＋112(3n2＋11n＋10)对一切n∈N*都成立．(3k2＋11k＋10)，(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，由上面可知等式成立．(2)假设n＝k时等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝kk＋112则1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2＝kk＋112＝kk＋112[k(3k＋5)＋12(k＋2)][3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．2n＋1＝k＋1k＋212＝k＋1k＋212∴当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)(2)，对nN∈*等式都成立．11×3＋13×5＋…＋2．用数学归纳法证明：nN*∈时，n1＝.2n－12n＋1【互动探究】＝，＝，左边＝右边，所以等式成立．＋…＋，＋…＋k1k2k＋3＋1证明：(1)当n＝1时，左边＝111×33右边＝12×1＋113(2)假设当...