§7.2一元二次不等式及其解法基础知识自主学习要点梳理1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集_____________________________________________________________________ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集______________________________________{x|xx2}{x|x≠x1}{x|x∈R}{x|x10(a>0)的求解的算法过程为3.上述不等式ax2＋bx＋c>0(<0)中的a均大于0，若a<0，则可先进行转化，使x2的系数为正，但一定注意在转化过程中，不等号的变化.［难点正本难点清源］一元二次不等式的解集及解集的确定一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集.若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c>0(或<0)(其中a>0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x10)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.基础自测1.不等式x2<1的解集为____________.解析x2<1，则－10的解集为x|－11，则x0的取值范围为()A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.(－∞，－1)∪［1，＋∞)C.(－∞，－3)∪(1，＋∞)D.(－∞，－3)∪［1，＋∞)解析 f(x0)>1，∴x0≥12x0＋1>1或x0<1x20－2x0－2>1，解得x0∈(－∞，－1)∪［1，＋∞).B题型分类深度剖析题型一一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)2x2＋4x＋3<0；(2)－3x2－2x＋8≤0；(3)8x－1≥16x2.思维启迪：首先将二次项系数转化为正数，再看二次三项式能否因式分解，若能，则可得方程的两根，大于号取两边，小于号取中间，若不能，则再看“Δ”，利用求根公式求解方程的根，而后写出解集.解(1) Δ＝42－4×2×3＝16－24＝－8<0.∴方程2x2＋4x＋3＝0没有实根.∴2x2＋4x＋3<0的解集为∅.(2)原不等式等价于3x2＋2x－8≥0⇔(x＋2)(3x－4)≥0⇒x≤－2或x≥43.∴不等式的解集为(－∞，－2］∪［43,+∞).(3)原不等式等价于16x2－8x＋1≤0⇔(4x－1)2≤0.∴只有当4x－1＝0，即x＝14时不等式成立，故不等式解集为14.探究提高解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ<0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集.变式训练1已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}.(1)若A∩B＝［0,3］，求实数m的值；(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围.解由已知得：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}.(1) A∩B＝［0,3］，∴m－2＝0，m＋2≥3，∴m＝2，m≥1.∴m＝2.(2)∁RB＝{x|xm＋2}. A⊆∁RB，∴m－2>3，或m＋2<－1，∴m>5或m<－3.题型二含参数的一元二次不等式的解法例2求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集.思维启迪：先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集.解 12x2－ax>a2，∴12x2－ax...
