第八节空间向量的应用(理)考纲解读1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．2．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．3．能用向量方法解决直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何中的作用．考向预测1．空间向量的数量积及其坐标运算，是高考考查的重点，多以选择、填空题为主．2．利用空间向量证明或判断线面平行、垂直问题．3．利用空间向量求空间角、空间距离是重中之重，多以解答题形式出现．知识梳理1．平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有个，它们是向量．(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是确定的．无数共线唯一2．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R)，a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．若l∥α，则u⊥n⇔u·n＝0⇔若l⊥α，则u∥n⇔u＝kn⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0；(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)k∈R；平面α1的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面α2的法向量为u2＝(a2，b2，c2)．若α1∥α2，则u1∥u2⇔u1＝ku2⇔若α1⊥α2，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)k∈R；a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.3．利用空间向量求空间角(1)两条异面直线的夹角①范围：两异面直线夹角θ的取值范围是②向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cosθ＝＝.(0，π2]．|cosφ|a·b|a|·|b|(2)直线与平面的夹角①定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的投影的夹角．②范围：直线和平面夹角θ的取值范围是③向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝或cosθ＝sinφ.[0，π2]．|cosφ|(3)二面角①二面角的取值范围是②二面角的向量求法：(ⅰ)若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB→与CD→的夹角(如图①)．[0，π]．(ⅱ)设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．4．利用空间向量求空间距离(1)点面距离的求法已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO→|＝＝.(2)线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解．|AB→|·cos〈AB→，n〉|AB→·n||n|(3)点到直线的距离设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点．设AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量PA→在s上的投影的大小|PA→·s|等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离d＝.|PA―→|2－|PA―→·s|2基础自测1.(教材改编题)若直线l1、l2的方向向量a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确[答案]B[解析] a·b＝(2,4，－4)·(－6,9,6)＝－2×6＋4×9－4×6＝0，∴a⊥b.2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝()A．2B．－4C．4D．－2[答案]C[解析] α∥β，∴(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)．∴－2＝λ，k＝－2λ，∴k＝4.3．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°[答案]B[解析]以B点为坐标原点，以BC、BA、BB1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则B(0,0,0)，C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，∴EF→＝(0，－1,1)，BC1→＝(2,0,2)，∴cos＝EF→·BC1→|EF→|·|BC1→|＝22·8＝12.∴EF与BC1所成的角为60°.4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角...
