§3空间向量与立体几何真题热身(2011·湖北)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为32，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE＝22，BF＝2.(1)求证：CF⊥C1E；(2)求二面角E－CF－C1的大小．方法一(1)证明由已知可得CC1＝32，CE＝C1F＝22＋(22)2＝23，EF2＝AB2＋(AE－BF)2，EF＝C1E＝22＋(2)2＝6，于是有EF2＋C1E2＝C1F2，CE2＋C1E2＝CC21，所以C1E⊥EF，C1E⊥CE.又EF∩CE＝E，所以C1E⊥平面CEF.又CF⊂平面CEF，故CF⊥C1E.(2)解在△CEF中，由(1)可得EF＝CF＝6，CE＝23，于是有EF2＋CF2＝CE2，所以CF⊥EF.又由(1)知CF⊥C1E，且EF∩C1E＝E，所以CF⊥平面C1EF.又C1F⊂平面C1EF，故CF⊥C1F.于是∠EFC1即为二面角E－CF－C1的平面角．由(1)知△C1EF是等腰直角三角形，所以∠EFC1＝45°，即所求二面角E－CF－C1的大小为45°.方法二建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得，A(0,0,0)，B(3，1,0)，C(0,2,0),C1(0,2,32),E(0,0,22),F(3,1,2)．(1)证明C1E→＝(0，－2，－2)，CF→＝(3，－1，2)，C1E→·CF→＝0＋2－2＝0.所以CF⊥C1E.(2)解CE→＝(0，－2,22)，设平面CEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，由m⊥CE→，m⊥CF→，得m·CE→＝0，m·CF→＝0，即－2y＋22z＝0，3x－y＋2z＝0，解得y＝2z，x＝0.可取m＝(0，2，1)．设侧面BC1的一个法向量为n，由n⊥CB→，n⊥CC1→，及CB→＝(3，－1,0)，CC1→＝(0,0,32)，可取n＝(1，3，0)．设二面角E－CF－C1的大小为θ，于是由θ为锐角可得cosθ＝|m·n||m||n|＝63×2＝22，所以θ＝45°.即所求二面角E－CF－C1的大小为45°.考点整合1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.2．空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝|e·n||e||n|.(3)二面角的求法①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角．②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图所示，二面角α－l－β，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α－l－β的大小为θ或π－θ.分类突破一、利用向量证明平行与垂直例1如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.证明如图建立空间直角坐标系A—xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．(1)取AB中点为N，连结CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，∴DE→＝(－2,4,0)，NC→＝(－2,4,0)，∴DE→＝NC→，∴DE∥NC，又 NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC.故DE∥平面ABC.(2)B1F→＝(－2,2，－4)，EF→＝(2，－2，－2)，AF→＝(2,2,0)．B1F→·EF→＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，B1F→·AF→＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴B1F→⊥EF→，B1F→⊥AF→，即B1F⊥EF，B1F⊥AF，又 AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.归纳拓展(1)证明线面平行须证明线线平行，只需证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行．可用传统法也可用向量法，用向量法更为普遍．(2)证明线面垂直的方法：可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明；也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明．(3)证明面面垂直通常转化为证线面垂直，也可用两平面的法向量垂...
