高中数学第一轮总复习 第64讲空间向量在立体几何中的应用课件(理科)新人教A版 课件VIP专享VIP免费

新课标高中一轮新课标高中一轮总复习总复习新课标高中一轮新课标高中一轮总复习总复习理数理数•第九单元第九单元•直线、平面、简单几直线、平面、简单几何体和空间向量何体和空间向量第第6464讲讲空间向量在立体几何中空间向量在立体几何中的应用的应用1.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念；能用向量语言表达线线、线面、面面的垂直与平行关系；能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).2.能用向量法求空间角、空间距离，体会向量法在研究立体几何中的工具性作用.1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是()CA.若a∥n,则a∥αB.若a·n=0,则a⊥αC.若a∥n,则a⊥αD.若a·n=0,则a∥α由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D，直线a平面α也满足a·n=0.2.已知α、β是两个不重合的平面，其方向向量分别为n1、n2,给出下列结论：①若n1∥n2,则α∥β;②若n1∥n2,则α⊥β,③若n1·n2=0,则α⊥β;④若n1·n2=0,则α∥β.其中正确的是()AA.B.①③①②C.D.②③②④3.在二面角α-l-β中，平面α的法向量为n，平面β的法向量为m.若〈n,m〉=130°，则二面角α-l-β的大小为()CA.50°B.130°C.50°或130°D.可能与130°毫无关系因二面角的范围是［0°,180°］，由法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补可知，二面角的大小可能是130°也可能是50°.有时可从实际图形中去观察出是钝角或锐角.4.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于.30°由题设，l与α所成的角θ=90°-(180°-120°)=30°.5.已知三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别是P(-1,0,0)，A（0，1，0），B（-4，0，0），C（0，0，2），则该三棱锥底面ABC上的高h=.217由已知,=(-1,-1,0),=(-4,-1,0),=(0,-1,2).设平面ABC的法向量n=(x,y,z),n·=-4x-y=0y=-4xn·=-y+2z=0，y=2z，取x=-1，得n=(-1,4,2).则h====.AP�AB�AC�得则AB�AC�||||nAPn�2221(1)(1)402||(1)423212171.法向量的有关概念及求法如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量.法向量的求法步骤：(1)设：设出平面法向量的坐标n=(x,y,z)；(2)列：根据n·a=0且n·b=0可列出方程；(3)解：把z看作常数，用z表示x,y；(4)取：取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好)，便得平面法向量n的坐标.2.立体几何中的向量方法(1)线线关系：若不重合的两直线AB、CD的方向向量分别为、.一般关系：设直线AB与CD所成的角为θ(θ[0,])∈，则cosθ=|cos〈,〉|=①.特殊关系:()ⅰAB⊥CD⊥②(用于证明线线垂直);()ⅱAB∥CD∥存在实数λ,使③(用于证明线线平行).AB�CD�2AB�CD�||||||ABCDABCD��AB�CD�=0ABCD�AB�CD�=λAB�CD�(2)线面关系：若平面α外的直线AB的方向向量为，平面α的法向量为n.一般关系:设直线AB与平面α所成的角为θ(θ[0,])∈，则有sinθ=|cos〈,n〉|=④.特殊关系：()ⅰAB⊥α∥n存在实数λ，使=λn(用于证明线面垂直)；()ⅱAB∥α⊥n·n=0(用于证明线面平行).AB�2AB�||||||ABnABn��AB�AB�AB�AB�(3)面面关系：若平面α的法向量为n，平面β的法向量为m.一般关系:设以α,β为面的二面角为θ(θ[0,∈π]),则θ与〈n,m〉⑤.当二面角为锐(直)二面角时，cosθ=|cos〈n,m〉|=⑥.当二面角为钝二面角时,cosθ=⑦.特殊关系:()ⅰα⊥βn⊥m⑧.(用于证明面面垂直)；相等或互补||||||nmnm||||||nmnmn·m=0()ⅱα∥βn∥m存在实数λ，使⑨(用于证明面面平行).(4)点到平面的距离：若AB是平面α外的一条线段，B是AB与平面α的交点，平面α的法向量为n.设点A到平面α的距离为d,则d等于在n上的射影的绝对值.即d=|||cos〈,n〉|=⑩.n=λmAB�AB�AB�||||ABnn�(5)异面直线间的距离：若异面直线AB、CD的方向向量分别为、，n⊥，n⊥，又M∈AB，P∈CD，则异面直线AB、CD间的距离d=.CD�AB�||||MPnn�AB�CD�11例1典例精讲典例精讲典例精讲典例精讲题型一题型一利用空间向量证明平行和垂直关系利用空间向量证明平行和垂直关系如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中...