•最新考纲解读•1．掌握平面向量的数量积及其几何意义．•2．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题．•3．掌握向量垂直的条件．•高考考查命题趋势•1．向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，是高考命题的必选素材．考查形式多为小题，考查内容主要是向量的数量积、几何意义、模以及夹角、共线和垂直问题．•2．作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．在2009年高考中有10套试卷在此知识点命题多以选择题、填空题出现，如2009全国Ⅱ，6；2009全国Ⅰ，6；2009湖北，17.•3．估计在2011年高考中仍是考查热点．若单独命题则以选择题或填空题出现.1.平面向量的数量积的定义(1)向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角cosθ＝cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22•注意：当且仅当两个非零向量a，b同方向量时，θ＝0°，•当且仅当a，b反方向时θ＝180°，•当且仅当a与b垂直时θ＝90°，记作a⊥b.•(2)已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a·b＝|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)．•规定：0·a＝0(3)向量的投影：|b|cosθ＝a·b|a|∈R，称为向量b在a方向上的投影．•注意：投影的绝对值称为射影．投影是实数，不是向量；而射影是非负实数．•数量积的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积．2．平面向量数量积的性质(1)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；(2)当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|，(3)cosθ＝a·b|a|·|b|(4)|a·b|≤|a|·|b|(5)向量的模与平方的关系：a·a＝a2＝|a|2(6)乘法公式仍成立：如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；(a±b)2＝a2±2a·b＋b2＝|a|2±2a·b＋|b|2•3．平面向量数量积的运算律•(1)交换律成立：a·b＝b·a•(2)对实数的结合律成立：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)•(3)分配律成立：(a±b)·c＝a·c±b·c＝c·(a±b)•注意：(1)结合律不成立：a·(b·c)≠(a·b)·c；•(2)消去律不成立a·b＝a·c不能得到b＝c.•(3)a·b＝0不能得到a＝0或b＝0.•4．两个非零向量垂直的充要条件•a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.•1.两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量．•2．数量积的记号是a·b不能写成a×b也不能写成ab.•3．若a、b为实数，且a·b＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.•若a、b、c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.•4．若a、b、c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a、b、c，(a·b)c≠a(b·c)，这是因为数量a·b与c相乘是与c共线的向量，而数量b·c与a相乘则是与a共线的向量，所以一般二者是不等的．•5．若a、b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a、b，却有|a·b|≤|a|·|b|，等号当且仅当a∥b时成立．这是因为|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|而|cosθ|≤1.•一、选择题•1．(2009年福建卷理9文12)设a、b、c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于()•A．以a，b为两边的△的面积•B．以b，c为两边的△面积•C．以a，b为邻边的▱的面积•D．以b，c为邻边的▱的面积[解析]a与b的夹角为α，则依题意可得|b·c|＝|b|·|c|·|cos(π2±α)|＝|b|·|a|·|sinα|＝S▱.[答案]C2．(2009年海南宁夏卷理9改编题)已知P在△ABC所在平面内，PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，则点P是△ABC的()A．重心B．外心C．垂心D．内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)[解析] PA→·PB→＝PB→·PC→，∴(PA→－PC→)·PB→＝0，∴CA→·PB→＝0，∴CA→⊥PB→，同理可得：AP⊥BC，PC⊥AB，∴P是△ABC的垂心．[答案]C3．(辽宁卷理3文4)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.3B．23C．4D．12[答案]B•二、填空题•4．向量a、b满足(a－b)·(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a、b夹角的余弦值等于________．5．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b＝____...
