高二数学上 第六章 不等式课件： 6.2算术平均数与几何平均数课件VIP免费

知识回顾：1.()abba定理对称性2.()abbcac定理且传递性abcdacbd推论：且（同向不等式的可加性）3.abacbc定理（同加性）4.()00.abcacbcabcacbc定理同乘性且；且1.00abcdacbd推论（非负同向不等式的可乘性）且.0nnabab*推论2（非负不等式乘方性质）（其中nN）.01nnabab*定理5（非负不等式开方性质）（其中nN且n）定理1.如果Rba,，那么222.abab（当且仅当ba“时取=”）证明：2222().ababab0)(0)(22babababa时，当时，当222.abab1．指出定理适用范围：,R,ab2．强调取“=”的条件：.ab新课讲解：注意:定理2：如果那么ba,是正数，.2abab（当且仅当ba“时取=”）证明：∵22()()2,abab∴2.abab即：.2abab当且仅当ba时,.2abab注意：1．这个定理适用的范围：,R;ab2．语言表述：两个正数的算术平均数不小称2ab为,ab的算术平均数，称ab为,ab的几何平均数。我们把2ab看做两个正数,ab的等差中项，ab看做正数,ab的等比中项，那么定理2可以叙述为：两个正数的等差中项不小于于它们的几何平均数．它们的等比中项．1．如果*12,1N,naaaRnn、、、且则：naaan21叫做这n个正数的算术平均数．nnaaa21叫做这n个正数的几何平均数．2.基本不等式：*121212...RN,nnnnaaaaaaaaann其中、、、，n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．关于“平均数”的概念：关于“平均数”的概念：语言表述：abba2的几何解释：AD’DCabB以ABab为直径作圆，过C作弦DD’AB，取C使AC=a,CB=b,则2,CDCACBab从而,CDab而半径.2abCDab当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立．例题：例题：例1.已知,,abcR求证：222.abcabbcca证：∵222,abab222,bcbc222,caca以上三式相加：2222()222,abcabbcca222.abcabbcca∴例题：例题：例2.1如果积已知yx,都是正数，求证：xy是定值,P那么当yx时,和yx有最小值2.P2如果和yx是定值,S那么当yx时,积xy有最大值21.4S证明：∵Ryx,∴,2xyxy1当xyP（定值）时，2xyP∵上式当yx时取“=”∴当yx时，xy有最小值2.Pyx2,P∴例题：例题：2当xyS(定值)时，.2Sxy∴21.4xyS∵上式当yx时取“=”，∴当yx时，21.4xyS有最大值注意：1最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）2用极值定理求最值的三个必要条件：一“正”、二“定”、三“相等”课堂练习课堂练习210loglgxx（1）(1).x证明：∵1,x∴lg0,xlog100.x于是lglog102lglg102.xxxxlglog10__2xx（2）(01),x解：∵01,xlg0,xlog100.x于是(lg)(log10)2.xx从而lglog102.xx≤求证：求证：比较大小：比较大小：课堂练习课堂练习（3）若1,x则为何值时x11xx有最小值，最小值为几？解：∵1,x∴10.x10.1x∴11xx=11112(1)1211.11xxxx当且仅当111xx即0x时11xx有最小值1．注意：用均值不等式求最值的条件:一正二定三相等用均值不等式求最值的规则:求和造积定,求积造和定课堂练习课堂练习（4）已知,,,Rabxy且1ybxa，求yx的最小值．解：yxyxbxaybaybxayxyx))((1)(22().ayxbababxy当且仅当yxbxay即bayx时，2().xyab取最小值课堂练习课堂练习思考：已知Ryxba,,,且abxy，求1xy的最小值.课本练习:22251(1),()4.4451?219(2),,1,,,1,12xfxxxxxyRxyxybabRaab已知:求函数的最大值.若呢已知:且求的最小值.(3)已知:且求的最大值.课堂小结22222222(1)2(,)(2)(,)2(RR3)2()?(4)++()?(5)()(,0R)22R?ababababababababbaabcab+bc+caa,b,cabababab基本不等式及其常用变式课堂小结2.(0).3.(0;(0.ayxaxx,y,+),xy=Px=yx+yx,y,+),x+y=Sx=yxy2等号成立的条件不能满足时,可以再从单调性的角度考虑,力图转化为的形式利用极值求最大(小)值时,(1)且(定值),那么当时,有最值2P(2)且(定值),S那么当时,大有最值4小今天你收获到了什么？今天你收获到了什么？作业：书P11习题6.2（3,4,5,6,7）