高考数学第一轮复习考纲(几类经典的递推数列)课件8 文 课件VIP专享VIP免费

第6讲几类经典的递推数列1．应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项2．构造等差、等比数列求通项(1)an＋1＝an＋f(n)．(2)an＋1＝anf(n)．(1)an＋1＝pan＋q.(2)an＋1＝pan＋qn.(3)an＋1＝pan＋f(n)．(4)an＋2＝p·an＋1＋q·an.1．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3等于()A.94B.32C.259D.25162．若数列{an}的前n和Sn＝3n＋a，那么要使{an}为等比数列，则实数a的值是()A．RC．－1B．0D．不存在AC3．已知等差数列{an}和等比数列{bn}各项都是正数，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，那么一定有()A．an＋1≤bn＋1B．an＋1≥bn＋1C．an＋1＜bn＋1D．an＋1＞bn＋14．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an－1，则an＝_______.5．已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1，则a3＝____.158B2n－1＋1考点1递推关系形如“an+1＝pan＋q”的数列求通项例1：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an}的通项公式．解题思路：递推关系形如“an＋1＝pan＋q”是一种常见题型，适当变形转化为等比数列．解析： an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)．∴{an＋3}是以2为公比的等比数列，其首项为a1＋3＝4.∴an＋3＝4×2n－1⇒an＝2n＋1－3.【互动探究】递推关系形如“an＋1＝pan＋q”适用于待定系数法或特征根法：①令an＋1－λ＝p(an－λ)；②在an＋1＝pan＋q中令an＋1＝an＝x⇒x＝q1－p，∴an＋1－x＝p(an－x)；③由an＋1＝pan＋q得an＝pan－1＋q，∴an＋1－an＝p(an－an－1)．1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝23an－2，则数列{an}的通项公式为7×23n－1－6.考点2递推关系形如“an+1＝pan＋f(n)”的数列求通项解析：an＋1＝23an－2⇒an＋1＋6＝23(an＋6)，∴an＝7×23n－1－6.例2：已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋12n(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．解题思路：等价转化为an＋1＋A(n＋1)＋B＝12(an＋An＋B)，利用待定系数法求出A、B后，进而转化为等比数列．解析：令an＋1＋A(n＋1)＋B＝p(an＋An＋B)，即an＋1＝pan＋pAn－A(n＋1)＋pB－B，比较系数，得A＝－1，B＝2，∴an＋1－(n＋1)＋2＝12(an－n＋2)，且a1－1＋2＝32≠0.∴数列{an－n＋2}是等比数列，其公比为12，首项为32.∴an－n＋2＝32×12n－1，an＝32n＋n－2.【互动探究】2．在数列{an}中，a1＝2，an+1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)设数列{an}的前n项和Sn，求Sn+1－4Sn的最大值．递推关系形如“an+1＝p·an＋An＋B”可用待定系数法求解．解：(1)令an＋1＋A(n＋1)＋B＝4(an＋An＋B)，即an＋1＝4an＋3An＋3B－A，比较系数，得A＝－1，B＝0，∴an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，且a1－1＝1≠0.∴数列{an－n}是等比数列，其公比为4，首项为1.∴an－n＝1×4n－1，an＝4n－1＋n.(2)由(1)数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n，∴数列{an}的前n项和Sn＝4n－13＋nn＋12.Sn＋1－4Sn＝4n＋1－13＋n＋1n＋22－44n－13＋nn＋12＝－12(3n2＋n－4)，故n＝1时，Sn＋1－4Sn最大，最大值为0.递推关系形如“an+1＝pan＋qn”的数列求通项考点3例3：已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an＋3n，求数列{an}的通项公式．解析：方法一： an＋1＝2an＋3n，∴an＋12n＝an2n－1＋32n，令an2n－1＝bn，则bn＋1－bn＝32n,∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝32n－1＋32n－2＋32n－3＋…＋322＋32＋1解题思路：适当变形转化为可求和的数列．＝2×32n－2.∴an＝3n－2n.方法二： an＋1＝2an＋3n，∴an＋13n＝23·an3n－1＋1，令an3n－1＝bn，则bn＋1＝23bn＋1，转化为“an＋1＝pan＋q”(解法略)．递推关系形如“an＋1＝pan＋qn”通过适当变形可转化为：“an＋1＝pan＋q”或“an＋1＝an＋f(n)n求解．【互动探究】考点4递推关系形如“an+2＝pan+1＋qan”的数列求通项解题思路：用待定系数法或特征根法求解．3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n，则an＝______.n·2n－1例4：已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝3an＋1－2an，求数列{an}的通项公式...