第2讲平面向量基本定理及坐标表示知识梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组．不共线有且只有λ1e1＋λ2e2基底2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝，|AB→|＝.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x21＋y21(x2－x1，y2－y1)x2－x12＋y2－y123．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔.x1y2－x2y1＝0辨析感悟1．对平面向量基本定理的理解(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)(2013·广东卷改编)已知a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有下列四个命题，请判断它们的正误：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c.(√)②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；(√)③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；(√)④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.(×)2．平面向量的坐标运算(4)(教材习题改编)已知点A(2,1)，B(－1,3)，则AB→＝(－3,2)．(√)(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.(×)(6)(2013·湘潭调研改编)已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若a∥b，则x的值为－4.(√)[感悟·提升]1．一个区别向量坐标与点的坐标不同，在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝OA→＝(x，y)．当平面向量OA→平行移动到O1A1→时，向量不变即O1A1→＝OA→＝(x，y)，但O1A1→的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．2．两个防范一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的，如(1)．二是注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0，如(5).考点一平面向量基本定理的应用【例1】如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用c，d表示AB→，AD→.解法一设AB→＝a，AD→＝b，则a＝AN→＋NB→＝d＋－12b，①b＝AM→＋MD→＝c＋－12a.②将②代入①，得a＝d＋－12c＋－12a，∴a＝43d－23c＝23(2d－c)，③将③代入②，得b＝c＋－12×23(2d－c)＝23(2c－d)．∴AB→＝23(2d－c)，AD→＝23(2c－d)．法二设AB→＝a，AD→＝b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以BN→＝12b，DM→＝12a，因而c＝b＋12a，d＝a＋12b⇒a＝232d－c，b＝232c－d，即AB→＝23(2d－c)，AD→＝23(2c－d)．规律方法(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【训练1】如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________．解析设|BP→|＝y，|PN→|＝x，则AP→＝AN→＋NP→＝14AC→－xx＋yBN→，①AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋yx＋yBN→，②①×y＋②×x得AP→＝xx＋yAB→＋y4x＋yAC→，令y4x＋y＝211，得y＝83x，代入得m＝311.答案311考点二平面向量的坐标运算【例2】已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN→的坐标．解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2) mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴...
