考纲要求考纲研读1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.理解基本不等式的概念，熟悉基本不等式的证明方法和过程．牢记基本不等式成立的条件和等号成立的条件，能将解析式变形成用基本不等式求最值的形式.第3讲算术平均数与几何平均数(1)基本不等式成立的条件是a，b∈R＋.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．a＋b(3)2叫做算术平均数，叫做几何平均数，基本不等式式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．1．基本不等式ab≤a＋b2ab2．几个常用的重要不等式≥2ab≥23．最值定理设x，y>0，由x＋y≥2(1)如积xy＝P(定值)，________________________.(2)如和x＋y＝S(定值)，____________________.即：积定和最小，和定积最大．(1)a∈R，a2≥0，|a|≥0当且仅当a＝0时取“＝”．(2)a，b∈R，则a2＋b2_______.(3)a∈R＋，则a＋1a______.(4)a2＋b22≥a＋b22则和x＋y有最小值2Pxy则积xy有最大值S22BA．有最大值C．是增函数B．有最小值D．是减函数D数)，则x，y的大小关系是(A．x>yC．x≥y)B．x0)，则f(x)()2．已知x＝a＋b，y＝nam＋mbnman＋nbm(a，b，m，n为正3．若x>0，则x2＋x＋4x的最小值为____.54．若x>0，则x＋—的最小值为______.2x5．已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为____.116解析：x>0⇒x2＋x＋4x＝x＋4x＋1≥2x·4x＋1＝5.当且仅当x＝4x即x＝2时取等号．22考点1利用基本不等式求最值(或取值范围)t2－4t＋1t的最小例1：①(2010年重庆)已知t＞0，则函数y＝值为______．－2解析：y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2( t＞0)，当且仅当t＝1时，ymin＝－2.x＋3x＋1②(2010年山东)若对任意x＞0，x2≤a恒成立，则a的取值范围是____________．a≥15解析： x＞0，∴x＋1x≥2.xx2＋3x＋1⇒1x＋1x＋3≤15.即xx2＋3x＋1的最大值为15.故a≥15.利用基本不等式求“和”的最小值时需注意验证：①要求各项均为正数；②要求“积”为定值；③检验是否具备等号成立的条件．【互动探究】1．(2011年重庆)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72B．4C.92D．5解析：y＝1a＋4b＝1a＋4ba＋b2＝12×1＋4＋ba＋4ab＝92.C考点2利用基本不等式求参数的取值范围例2：①(2011年浙江)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是__________．解析： 4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1.即(2x＋y)2－32·2x·y＝1.∴(2x＋y)2－322x＋y22≤1.解得：(2x＋y)2≤85.即－2105≤2x＋y≤2105.2105②(2010年重庆)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()BA．3B．4C.92D.112解析：x＋2y＝8－x·(2y)≥8－x＋2y22，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0.又x＋2y>0，∴x＋2y≥4.本题主要考查了均值不等式在求最值时的运用．整体思想是分析这类题目的突破口，即2x＋y与x＋2y分别是统一的整体，如何构造出只含2x＋y(2x·y亦可)与x＋2y(x·2y亦可)形式的不等式是解本题的关键．【互动探究】2．(2010年浙江)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是_____.18解析：运用基本不等式xy＝2x＋y＋6≥22xy＋6，令xy＝t2，可得t2－22t－6≥0，注意到t＞0，解得t≥32，故xy的最小值为18.考点3利用基本不等式处理实际问题例3：如图5－3－1，某公园要在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积为10000米2，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的长、宽各为多少米时占地总面积最少？图5－3－1解析：设池塘的长为x米时占地总面积为S，解题思路：根据题意建立函数模型，利用基本不等式求最值．故池塘的宽为y＝10000x米．S＝(6＋x)20000x＋6(x＞0)．∴S＝120000x＋6x＋20036≥120000x·6x＋20036＝2720000＋20036＝12002＝20036.当且仅当120000x＝6x时，即x2＝20000，x＝1002时等号成立．当x＝1002米时，y＝100001002＝502米．Smin＝12002＋20036.答：每个池塘的长为1002米、宽为502米时占地总面积...
