知识梳理典例变式基础训练能力提升第21讲排列组合、二项式定理(理)知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理1.加法原理与乘法原理(1)分类加法计数原理完成一件事有两类不同的方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.(2)分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.(3)分类加法和分步乘法计数原理,区别在于:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理2.排列与组合(1)排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组(2)排列数与组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(3)排列数、组合数的公式及性质公式(1)𝐴nm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!(2)𝐶nm=𝐴nm𝐴mm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!(n,m∈N*,且m≤n).特别地C𝑛0=1性质(1)0!=1;𝐴𝑛𝑛=n!.(2)C𝑛𝑚=C𝑛𝑛-𝑚;C𝑛+1𝑚=C𝑛𝑚+C𝑛𝑚-1知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理3.二项式定理(1)二项式定理①二项式定理:(a+b)n=C𝑛0an+C𝑛1an-1b+…+C𝑛𝑟an-rbr+…+C𝑛𝑛bn(n∈N*);②通项公式:Tr+1=C𝑛𝑟an-rbr,它表示第r+1项;③二项式系数:二项式展开式中各项的系数为C𝑛0,C𝑛1,…,C𝑛𝑛.知识梳理典例变式基础训练能力提升知识梳理(2)二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等,即𝐶nk=𝐶nn-k增减性二项式系数𝐶nk当k
𝑛+12(n∈N*)时,是递减的二项式系数最大值当n为偶数时,中间的一项C𝑛𝑛2取得最大值当n为奇数时,中间的两项C𝑛𝑛-12与𝐶𝑛𝑛+12取最大值(3)各二项式系数和①(a+b)n展开式的各二项式系数和:C𝑛0+C𝑛1+C𝑛2+…+C𝑛𝑛=2n.②偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C𝑛0+C𝑛2+C𝑛4+…=C𝑛1+C𝑛3+C𝑛5+…=2n-1.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式题型一加法与乘法原理【例1】(1)从甲地到乙地每天有直达汽车4班,从甲到丙地,每天有5个班车,从丙地到乙地每天有3个班车,则从甲地到乙地不同的乘车方法有()A.12种B.19种C.32种D.60种(2)如图,用6种不同的颜色分别给图中A,B,C,D四块区域涂色,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有()A.400种B.460种C.480种D.496种知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【解析】(1)分两类:一类是直接从甲到乙,有n1=4种方法;另一类是从甲经丙再到乙,可分为两步,有n2=5×3=15种方法.由分类计数原理可得:从甲到乙的不同乘车方法n=n1+n2=4+15=19.故选B.(2)完成此事可能使用4种颜色,也可能使用3种颜色.当使用4种颜色时:从A开始,有6种方法,B有5种,C有4种,D有3种,完成此事共有6×5×4×3=360种方法;当使用3种颜色时,A,D使用同一种颜色,从A,D开始,有6种方法,B有5种,C有4种,完成此事共有6×5×4=120种方法.由分类加法计数原理可知:不同的涂法有360+120=480(种).【答案】(1)B(2)C知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式【规律方法】(1)注意在综合应用两个原理解决问题时,一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理;注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地列出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化.(2)解决涂色问题,可按颜色的种数分类,也可按不同的区域分步完成.第(2)题中,相邻区域不同色,是按区域1与3是否同色分类处理.知识梳理典例变式基础训练能力提升典例变式变式训练一1.(2015·四川卷)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3,则称这样的三位数为凸数(如120,343...
