备课资讯11例谈平面向量的交汇性在平面向量与学科其他分支之间的交汇处命题已成为高考的一个热点，在解题的过程中向量知识是重要的工具．因此像这类综合性题目要求同学们在扎实的知识功底的基础上，要注意到知识的横向联系，会灵活运用向量这一工具快速作答。一、与集合的交汇【例1】(2009·湖北)已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝()A．{(1,1)}B．{(－1,1)}C．{(1,0)}D．{(0,1)}解析a＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，b＝(1,1)＋n(－1,1)＝(1－n,1＋n)．由a＝b，得1＝1－n，m＝1＋n，解得m＝1，n＝0.所以P∩Q＝{(1,1)}，故选A.点评借助平面向量的坐标运算，使向量相等和集合交集运算相结合，考查了方程思想的应用．二、与平面几何的交汇【例2】（2009·宁夏）已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，则点O，N，P依次是△ABC的()A．重心外心垂心B．重心外心内心C．外心重心垂心D．外心重心内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)0|,|||||NCNBNAOCOBOA且,PAPCPCPBPBPA且分析将已知向量变形或利用向量的几何意义可得到．|,|||||OCOBOA由根据向量模的定义可知，点O到△ABC的三个顶点的距离相等，故点O是△ABC的外心．设A、B、C、N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x0，y0)．NCNBNANCNBNA所以因为,0＝(x1＋x2＋x3－3x0，y1＋y2＋y3－3y0)＝(0,0)，解析则x1＋x2＋x3－3x0＝0，y1＋y2＋y3－3y0＝0.即x0＝x1＋x2＋x33，y0＝y1＋y2＋y33.故知点N是△ABC的重心．,PCPAPBPA由.,0,0)(CAPBCAPBPCPAPB所以也就是有平面几何中的四个“心”(重心、垂心、外心、内心)与向量的交汇，即利用向量形式来表示，是高考的常考点，应加以总结归纳．.,.,CABCPCBPA应选综上可知的垂心为故同理可证点评三、与解三角形的交汇【例3】（2009·浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c且满足(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．分析.3,5522cosACABA对于第(1)小题，由三角公式，先求cosA及sinA，再由向量的数量积，得到bc，再用三角形的面积公式．第(2)小题，可用余弦定理来解决．解析(1)因为cosA2＝255，所以cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45.得bccosA＝3，所以bc＝5，因此S△ABC＝12bcsinA＝2.(2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6，所以b＝5，c＝1，或b＝1，c＝5.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a＝25.点评向量知识与解三角形的交汇问题，应重视正、余弦定理，以及三角形面积公式的应用．3ACAB又由四、与三角变换的交汇【例4】(2009·江苏)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.分析第(1)小题，利用向量垂直的条件，得到弦的关系，再转化为正切；第(2)小题可用平方法；第(3)小题，是向量平行的逆向问题，先切化弦，再用向量平行的条件．(1)解析由a与b－2c垂直，则a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0.则有tan(α＋β)＝2.(2)解析b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，所以|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32sinβcosβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β.故当sin2β＝－1时，|b＋c|2的最大值是32.所以|b＋c|的最大值为42.(3)证明由tanαtanβ＝16，得sinαsinβ＝16cosαcosβ，即4cosα×4cosβ－sinα×sinβ＝0，所以a∥b.点评以平面向量(三角函数)为载体，与三角函数(平面向量)的交叉与综合，是高考命题的一个新考点．其解法是利用向量的数量积和模的概念等脱去向量的外衣，转化为三角函数问题，即可解决．返回
