高考数学第一轮复习考纲(解三角形应用举例)课件2 文 课件VIP专享VIP免费

第2讲解三角形应用举例解斜三角形的常用定理与公式sinC－cosC(1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝180°；sin(A＋B)＝_____；cos(A＋B)＝______.＝2R(R为△ABC的外接圆半径)asinA＝bsinB＝csinC(2)正弦定理：____________________________________________．(3)余弦定理：____________________.(4)三角形面积公式：_______________________________.(5)三角形边角定理：________________________．c2＝a2＋b2－2abcosCS△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB大边对大角，大角对大边2．若△ABC的内角A满足sin2A＝－，则cosA－sinA＝(A．5B．－5C.32D．－3223)1．在△ABC中，∠C＝90°，AB→＝(k,1)，AC→＝(2,3)，则k的值是()BAA.153B．－153C.53D．－5313．若△ABC满足AB→·AC→＝23，∠BAC＝30°，则三角形的面积为_____.4．已知a、b、c分别为△ABC的三个内角的所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sinA＝_______.12解析： A＋B＋C＝2B＋B＝π，∴B＝π3.由正弦定理得：asinA＝1sinA＝bsinB＝332＝2，∴sinA＝12.5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则sinB＝_______.74解析：设a＝1，则c＝2，b＝2.cosB＝a2＋c2－b22ac＝1＋4－24＝34.∴sinB＝74.考点1向量在三角形中的应用例1：已知△ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).(1)若c＝5，求sinA的值；(2)若A为钝角，求c的取值范围．解题思路：本题是已知△ABC的三个顶点的坐标，求三角形的内角问题，故用向量比余弦定理会更简单些．解析：(1)AB→＝(－3，－4)，AC→＝(c－3，－4)，若c＝5，则AC→＝(2，－4)，∴cosA＝cos〈AC→，AB→〉＝－6＋165×25＝15，∴sinA＝255.(2)若A为钝角，则－3c＋9＋16<0c≠0，解得c>253，∴c的取值范围是253，＋∞.【互动探究】1．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．用向量处理角的问题时要注意两点：①是要注意角的取值范围；②是利用向量处理△ABC的角，角A是直角的充要条件是AB→·AC→＝0；角A是锐角的充要条件是AB→·AC→>0；角A是钝角的充要条件是AB→·AC→<0.(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．解：(1) m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·a2R＝b·b2R，其中R是三角形ABC外接圆半径，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(1)由题意可知m⊥p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab，由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝12absinC＝12·4·sinπ3＝3.考点2有关三角形的边角计算问题例2：(2011年河北3月模拟)在锐角三角形ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a＝2csinA.(1)确定角C的大小；解题思路：从边角统一入手，可用正弦定理或余弦定理．(2)若c＝3，且△ABC的面积为23，求a2＋b2的值．解析：(1)由a＝2csinA及正弦定理得，ac＝2sinA＝sinAsinC， sinA≠0，∴sinC＝12. △ABC是锐角三角形，∴C＝π6.在解三角形中，常常求a2＋b2，a＋b，ab这些值，要特别注意余弦定理的变形技巧：将a2＋b2－2abcosC＝c2变为(a＋b)2－2ab－2abcosC＝c2等．(2) c＝3，C＝π6，由面积公式得12absinπ6＝23，即ab＝83.由余弦定理得：a2＋b2－2abcosπ6＝3，即a2＋b2－3ab＝3，a2＋b2－24＝3，故a2＋b2＝27.【互动探究】2．如图7－2－4，D是直角三角形ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.(1)证明：sinα＋cos2β＝0;图7－2－4(2)若AC＝3DC，求β的值．解：(1) α＝π2－(π－2β)＝2β－π2，∴sinα＝sin2β－π2＝－cos2β，即sinα＋cos2β＝0.(2)在△ABC中，由正弦定理得DCsinα＝ACsinπ－β⇒DCsinα＝3DCsinβ，∴sinβ＝3sinα，由(1)得sinα＝－cos2β，∴sinβ＝－3cos2β＝－3(1－2sin2β)，即23sin2β－sinβ－3＝0.解得sinβ＝32或sinβ＝－33， 0<β<π2，∴sinβ＝32⇒β＝π3.错源：三角形中三边长度成等比或等差的条件不会用例3在：ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列．(1)求角B的取值...