知识梳理1．平面向量的基本定理如果e1，e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示(1)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．(2)规定：①相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．(x，y)3．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝；(2)若A，B，则＝；(3)若a＝(x，y)，则λa＝；(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b.(x1±x2，y1±y2)(x2－x1，y2－y1)(λx，λy)x1y2－x2y1＝0探究点1平面向量基本定理应用要点探究例1[2009·湖南卷]如图32－1所示，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若求x，y.【思路】把AD按，分解．【解答】作DF⊥AB，交AB延长线于F，设AB＝AC＝１BC＝DE＝， ∠DEB＝60°，∴BD＝，由∠DBF＝45°，解得DF＝BF＝故x＝1＋，y＝.226，2322262323【点评】只要平面内两向量不共线，则平面内任一向量就可以按这两个向量分解，并且这种分解是唯一的．利用这一唯一性既可以求参数，也可以进行证明，如下题：变式题已知P是△ABC所在平面内一点，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为S.证明：只有唯一的一点P使得S与P重合．【思路】要证满足条件的点是唯一的，只需证明向量可用一组基底唯一表示．【解答】证明：设则由题设知由于a，b是平面ABC的基向量，所以是唯一的一个向量，即△ABC所在平面内只有唯一的一点P使得S与P重合．探究点2平面向量的坐标运算的应用例2[2009·广东卷]已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线【思路】根据a＋b的坐标判断．【解析】Ca＋b＝(0,1＋x2)，由1＋x2≠0及向量的性质可知C正确．【点评】从向量的坐标可以知道向量的位置和大小，为数形结合做好了准备．有了坐标就可以把向量的有关问题转化为数的计算．如下题：变式题已知向量a＝(2,1)，b＝(1,2)，则|a＋λb|(λ∈R)的最小值为()A.B.C.D.555525535【思路】把|a＋λb|(λ∈R)表示为λ的函数．【解析】C a＝(2,1)，b＝(1,2)，∴a＋λb＝(2＋λ，1＋2λ)，∴|a＋λb|＝＝故当λ＝时，|a＋λb|取得最小值，选C.22212,59545254553探究点3向量共线的坐标表示的应用例3[2009·重庆卷]已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2B．0C．1D．2【思路】利用共线向量的坐标表示进行求解．【解析】D方法一：因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1),4b－2a＝(6,4x－2)，由于a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.方法二：因为a＋b与4b－2a平行，则存在实数λ，使a＋b＝λ(4b－2a)，即(2λ＋1)a＝(4λ－1)b，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故x＝2.【点评】解决向量共线问题时注意方程思想的应用．对于坐标均非零的向量共线，也可以从对应坐标成比例入手，如下题：变式题如图32－2所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．【解答】方法一：设t(4,4)＝(4t,4t)，则(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)．＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由共线的充要条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝.∴＝(4t,4t)＝(3,3)．∴P点坐标为(3,3)．43方法二：设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4)． 共线，∴4x－4y＝0.①又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，且向量共线．∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3，∴点P的坐标为(3,3)．探究点4向量坐标运算的综合应用例4[2009·湖南卷]已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|,0<θ<...
