第4讲轨迹与方程求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x、y之间的关系f(x，y)＝0.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x0、y0，再将x0、y0代入已知曲线得要求的轨迹方程．(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．D1．已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x2＋y2m＝1的离心率为()A.32或52B.32C.5D.32或52．已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线D3．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为_______________________.4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是_________.5．动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是___.(x－10)2＋y2＝36(y≠0)y2＝8x8考点1直接法求轨迹方程例1：如图12－4－2，已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程．图12－4－2解题思路：问题中的几何性质十分突出，如何利用切线、直径、垂直、圆心这些几何性质是关键，动圆圆心满足的条件是关注的焦点．解析：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系．设动圆圆心为M(x，y)，⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|＝|MC|. AB为⊙O的直径，∴MO垂直平分AB于O.由勾股定理得|MA|2＝|MO|2＋|AO|2＝x2＋y2＋9，而|MC|＝|y＋3|，化简得x2＝6y，这就是动圆圆心的轨迹方程．求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系．∴x2＋y2＋9＝|y＋3|.【互动探究】1．如图12－4－3，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程．图12－4－3解：设点M的坐标为(x，y)， M是线段AB的中点，∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．∴PA→＝(2x－2，－4)，PB→＝(－2,2y－4)．由已知PA→·PB→＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0，即x＋2y－5＝0.∴线段AB中点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0.考点2定义法求轨迹方程解题思路：运用圆锥曲线的定义和圆的几何性质判断轨迹形状后，再根据已知求解．解析：两定圆的圆心和半径分别为O1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R.∴|MO1|＋|MO2|＝10.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，例2：一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．且a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，若根据条件得出动点的轨迹特征符合某一基本轨迹的定义，可由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.【互动探究】2．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．图12－4－4解：如图12－4－4，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.这表明动点M到两定点C2、C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．考点3代入法求轨迹方程例3：设双曲线y2a2－x23＝1的焦点分别为F...
