§3.2导数的应用基础知识自主学习要点梳理1．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.则有：f′(x)≥0⇔f(x)为f′(x)≤0⇔f(x)为增函数减函数2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程的根；③检查f′(x)在方程的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得．f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0极大值极小值f′(x)=0f′(x)=03．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则为函数的最小值,为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减,则为函数的最大值，为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的；②将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．f(b)f(a)f(a)f(b)极值f(a)，f(b)4．生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是：[难点正本疑点清源]1．f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件．在区间(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立解出的参数的取值范围确定．2.对于可导函数f（x），f′(x0)=0并不是f(x)在x=x0处有极值的充分条件对于可导函数f（x），x=x0是f（x）的极值点，必须具备①f′(x0)=0,②在x0两侧，f′(x)的符号为异号.所以f′(x0)=0只是f(x)在x0处有极值的必要条件，但并不充分.基础自测1．f(x)＝3x－x3的单调减区间为．解析由f′(x)＝3－3x2<0，得x>1或x<－1.即f(x)的单调减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．(－∞，－1)和(1，＋∞)2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是________．解析由y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15.5，－153．函数y＝3x2－6lnx的单调增区间为__________，单调减区间为_____．解析y′＝6x－6x＝6x2－6x. 定义域为(0，＋∞)，由y′>0，得x>1，∴增区间为(1，＋∞)；由y′<0，得0a>－3且a≠0.(－3，0)∪(0，＋∞)5．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a的取值范围是.解析f′(x)＝3x2－a， f(x)在[1，＋∞)上单调递增函数，∴f′(x)≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0，x∈[1，＋∞)恒成立，故实数a小于或等于3x2在[1，＋∞)上的最小值，即a≤3，.(－∞，3]点评本题易错答为（-∞,3).考生易忽略f′(x)≥0是f(x)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件．题型分类深度剖析题型一函数的单调性与导数例1已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．思维启迪：(1)通过解f′(x)≥0求单调递增区间；(2)转化为恒成立问题，求a.解(1) f(x)＝ex－ax－1，∴...
