.第4课时空间向量及其运算9B1．空间向量的有关定理1共线向量定理：对空间任意两个向量a，bb≠0，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.2共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对x，y，使p＝xa＋yb.3空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个．基底x＋y＋z＝12．两个向量的数量积与平面向量基本相同∠AOB0〈a，b〉π2两向量的数量积：两个非零向量a，b的数量积a·b＝．|a||b|cos〈a，b〉3向量的数量积的性质：①a·e＝|a|cos〈a，e〉；②a⊥ba·b＝0；③|a|2＝a·a＝a2；④|a·b|≤|a||b|.4向量的数量积满足如下运算律：①λa·b＝λa·b；②a·b＝b·a交换律；③a·b＋c＝a·b＋a·c分配律．1．已知向量a∥平面β，向量a所在直线为a，则A．a∥βB．aβC．a交β于一点D．a∥β或aβ答案：D2．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是A．aB．bC．cD．2a解析： a＋b，a－b分别与a，b,2a共面，∴它们不能构成一组基底．答案：C答案：C4．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝________.答案：－13答案：用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．用向量法证明：E、F、G、H四点共面．[变式训练]2.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否一定与A、B、C共面？两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定．在进行运算时，要满足运算律，向量数量运算主要在于应用，其作用在于求距离长度、夹角及证明垂直等．1．点共线问题共线向量定理：对空间任意两个向量a，bb≠0，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.2．点共面问题点共面问题可以转化为向量共面问题：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是，存在实数对x，y，使p＝xa＋yb.由此可见，空间任一定点P位于平面MAB内的充要条件是：所以要证明P，M，A，B四点共面，关键是寻找有序实数对x，y满足上述的两个关系式．3．平行问题证明线线平行只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系．如证明AB∥CD只需证证明面面平行，只要证明两个平面的法向量共线即可．通过近三年高考试题的统计分析，有以下的命题规律：1．考查热点：向量数量的应用．2．考查形式：选择、填空、解答题均可能出现．3．考查角度：一是空间向量线性运算；二是对利用向量处理平行和垂直问题的考查，主要解决立体几何中有关垂直和平行判断的一些命题．4．命题趋势：空间向量及其运算，最有可能的还在解答题，不过作为解题的工具进行考查．12分2010·安徽卷如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．1求证：FH∥平面EDB；2求证：AC⊥平面EDB；3求二面角B－DE－C的大小．规范解答：1证明： 四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC. EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC.[阅后报告]解答本题的关键建立空间坐标系，求解时利用面FBC⊥面ABCD，取BC的中点H作为原点，从而问题得到解决．1.2010·北京理科卷如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.1求证：AF∥平面BDE；2求证：CF⊥平面BDE.2因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直...
