第5课时含绝对值的不等式1．绝对值不等式的解法解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号，进而转去，去绝对值符号的方法有：(1)利用绝对值的意义2．绝对值不等式的性质(1)定理|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)推论推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3|；推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.1．(2010·广西桂林一模)不等式|x＋1|－2>0的解集是()A．(∞－，－1)∪(3∞，＋)B．(－1,3)C．(∞－，－3)∪(1∞，＋)D．(－3,1)解析： |x＋1|>2，∴x＋1>2或x＋1<－2，x>1或x<－3.故选C.答案：C2．(2009·山东卷)不等式|2x－1|－|x－2|<0的解集为________．解析：答案：(－1,1)3．若a、b、c∈R，且a、b、c均不为零，当|a－c|<|b|时，则一定有()A．|a|<|b＋c|B．|a|<|b|＋|c|C．|a|>|b－c|D．|a|>|b|－|c|解析： |a|－|c|≤|a－c|<|b|，∴|a|<|b|＋|c|，∴B正确．答案：B答案：{x|x＞2且x≠3}5．集合A＝{x∈R|x2－x－6＜0}，B＝{x∈R||x－2|＜2}，则A∩B＝________.答案：{x|0＜x＜3}1．解含绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值．常用的方法有：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方．解下列不等式：(1)|x－x2－2|>x2－3x－4；(2)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|，解不等式f(x)>2.解析：(1)方法一：原不等式等价于x－x2－2>x2－3x－4或x－x2－2<－(x2－3x－4)．∴原不等式的解集为{x|x>－3}．方法二： |x－x2－2|＝|x2－x＋2|，[变式训练]1.解下列不等式(1)|x2－3x－4|>x＋2.(2)x2－2x－4<|x－3|－|x＋1|.解析：(1)原不等式等价于x2－3x－4>x＋2或x2－3x－4<－(x＋2)绝对值不等式的性质定理的一个重要应用是求最值，如|a|＋|b|≥|a±b|，若a±b为常数m，则有|a|＋|b|≥m，从而确定|a|＋|b|的最小值为m，这一点与函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|紧密联系到一起．值范围．解析：结合图象可知函数y＝|x－4|＋|3－x|的最小值为1，故a≤1.[变式训练]2.(1)函数y＝|x＋1|－|x－2|的值域为________．(2)关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|>a恒成立，则a的取值范围为________．解析：(1)||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.(2)当x∈R时，|x＋2|＋|x－1|≥|x＋2－(x－1)|＝3，∴|x＋2|＋|x－1|的最小值为3，∴a<3.答案：(1)[－3,3](2)(∞－，3)含绝对值不等式的证明主要有两类(1)比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添项、拆项证明；(2)综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，证明：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|；证明：(1)f(0)＝c，f(1)＝c，故f(0)＝f(1)．[变式训练]3.已知f(x)＝x2－x＋c，|x－a|<1.求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明：|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)，∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．1．零点分段法的具体过程(1)求出每个绝对值的零点，所有的零点将实数集分为若干个区间；(2)在各个区间上，去掉绝对值后，求出不等式在该区间上的解集；(3)每个区间上的解集的并集，就是原不等式的解集．3．绝对值不等式对性质定理：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，如例2就用了该性质．2．平方法去绝对值号使用平方法去绝对值时要特别小心，非常容易出现增解，必须检查变形的同解性．事实上，平方法去绝对值一般只适用于两边恒正(负)的不等式，比如对|2x－1|<|x－1|，可得(2x－1)2<(x－1)2.通过对近三年高考试题的统计分析，整个命题过程中有以下的规律：1．考查热点：绝对值不等式的解法．2．考查形式：选择题、填空题和解答题均可能出现，作为工具在解答题中经常出现．3．考查角度：一是对绝对值不等式性质的考查．要清晰绝对值的几何意义以及两数和与差的绝对值不等式的性质的几何背景．其主要是在求最值、证明不等式中起到放缩的作用等．二是对绝对...
