3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.3简单的线性规划问题课标要求：1.了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．2．了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力．课标定位重点难点：本节重点：线性规划问题的图解法，关键是数形之间的转化(根据约束条件，画出可行域，并弄清目标函数所表示的几何意义)．本节难点：将实际问题转化为线性规划问题，并给予求解，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．基础知识梳理1．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的_________线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式不等式(组)名称意义可行解满足_________________的解(x，y)可行域所有________组成的集合最优解使目标函数取得______的可行解线性规划问题求线性目标函数在_________条件下的最大值或最小值的问题2.解决简单的线性规划问题的方法和步骤线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题．解决这类问题最常用、最重要的一种方法就是图解法．其步骤为：①画：画出可行域；②变：把目标函数变形为斜截式方程，从纵截距的角度寻找最优解；③求：解方程组求出最优解；④答：写出目标函数的最值．线性约束条件可行解最值线性约束3．几点说明(1)线性规划问题可能没有最优解．(2)当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解．(3)整点可行解就是可行域中横坐标和纵坐标都是整数的点．课堂互动讲练题型一题型一求线性目标函数的最值线性规划问题的基本解法是图解法，解好线性规划问题的关键是画好平面区域，找到目标点．例例11若变量x，y满足2x＋y≤40x＋2y≤50x≥0y≥0，求z＝3x＋2y的最大值．【分析】解答本题可先画出可行域，采用图解法，平行移动直线求解．【解】由题意，满足二元一次不等式组的解的可行域如图所示．由z＝3x＋2y，得y＝－32x＋z2.要求z的最大值，可求z2的最大值，即求斜率为－32的直线在可行域内在y轴上截距的最大值．如图，显然直线过A点时，y＝－32＋z2在y轴上截距最大．联立2x＋y＝40x＋2y＝50，得x＝10y＝20，∴A(10,20)．∴z＝3x＋2y的最大值为z＝3×10＋2×20＝70.【点评】利用线性规划求最值①准确画出可行域是解答此类问题的前提条件．②把目标函数与过可行域内点的一组平行直线建立对应关系．③理解好线性目标函数的几何意义是关键．从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确．变式训练变式训练1．求z＝3x＋5y的最大值和最小值，使x，y满足约束条件5x＋3y≤15，y≤x＋1，x－5y≤3.解：目标函数为z＝3x＋5y，可行域如图所示，作出直线z＝3x＋5y，可知，直线经过点B时，z取得最大值，直线经过点A时，z取得最小值．解方程组y＝x＋1，x－5y＝3或y＝x＋1，5x＋3y＝15，可得点A(－2，－1)和点B(1.5,2.5)．所以zmax＝17，zmin＝－11.题型二题型二求非线性目标函数的最值若目标函数不是线性函数，我们可先将目标函数变形找到它的几何意义，再利用解析几何知识求最值．例例22已知x－y＋2≥0x＋y－4≥02x－y－5≤0，求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(2)z＝2y＋1x＋1的取值范围．【分析】由题目可获取以下主要信息：在约束条件下，①求z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2的最小值；②求z＝2y＋1x＋1＝2·y－－12x－－1的取值范围．解答本题可先将目标函数变形找到它的几何意义，再利用解析几何知识求最值．【解】作出可行域，如图所示，求得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足在AC上，故MN＝|0－5＋2|1＋－12＝32＝322.MN2＝(322)2＝92，故z的最小值为92...
